С. В. Распопов Н. С. Николаенко Ю. А. Гурвич

Белорусский национальный технический университет

Колебания системы двух грузов на гладкой горизонтальной поверхности

Целью данной работы является: составление дифференциальных уравнений движения каждого груза в отдельности с использованием второго закона динамики для материальной точки, их решение при различных начальных условиях движения, анализ полученных уравнений движения каждого груза и системы в целом.

Рассмотрим движение простейшей механической системы, состоящей из двух грузов массами m1 и m2, связанных между собой пружиной с коэффициентом жесткости с и длинной l в недеформированном состоянии, находящихся на гладкой горизонтальной плоскости (рис.1).

Рис.1

Пусть в некоторый момент времени при движении грузов их положение определяется координатами x1 и x2. На грузы со стороны пружины действуют сила упругости Fупр= -Fупр, приложенные соответственно к грузам 1 и 2.Для системы двух грузов эти силы являются внутренними и в зависимости от начальных условий движения грузов в соответствии с теоремой о движении центра масс системы проекция центра масс системы на ось Ох либо будет покоиться, либо двигаться с некоторой начальной скоростью, так как проекция главного вектора внешних сил на ось х равна нулю. Однако эти внутренние силы будут вызывать перемещения грузов.

Составим дифференциальные уравнения движения этих грузов под действием сил упругости в проекции на ось Ох;

₁ ₁ = Fупр = c(x₂-x₁-l); (1)

₂ =-F′=-c(x₂-x₁-l) (2)

Сложим уравнения (1) и (2), получим;

₁ ₁ + ₂ (3)

Проинтегрируем дважды уравнение (3), выразив предварительно ₁

₁= - ; ₁= - + C₁; ₁= - + C₁t +C₂; (5)

Подставим (5) в уравнение (2) и преобразуем

₂ =-cx₂(1+ )+ t+cC₂+cl; (6)

Подставим уравнение (6) в виде

x= + ; (7)

Обозначим

=k²; =A; =B; (8)

С учетом (8) уравнение (7) принимает вид:

+k²x₂=At + B; (9)

Получили неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка.

Его общее решение:

x₂= + x₂*, где — общее решение однородного уравнения.

x₂= C₃coskt + C₄sinkt; (10)

x₂*— частное решение неоднородного уравнения. Его решение будем искать в виде правой части уравнения

x₂*=C₅t+C₆; (11)

Тогда x₂*=0; Подставим x₂* и (11) в уравнение (8), получим;

k²(C₅t + C₆)=At + B (12)

Из уравнения (12) с учетом (8) определим C₅ и C₆

C₅= = = C₁;

C₆= = = (C₂ + l); (13)

С учетом (10), (11) и (13) общее решение уравнения (9) примет вид:

x₂= C₃coskt + C₄sinkt t + . (14)

Тогда уравнение (5) с учетом (14) представим в виде:

x₁= - C₃ coskt - C₄ sinkt + t + t - . (15)

Уравнение (14) и (15) описывают в общем случае движение соответственно второго и первого грузов.

Так как движение второго груза зависит от движения первого, то определим C₁, C₂,C ₃, C ₄ при различных начальных условиях движения первого груза, приняв начальные условия движения второго груза для всех случаев неизменными.