Стульба М.А., Макаренко Р.Ю., Гурвич Ю.А.

Белорусский Национальный Технический Университет

Расчет количества вычислительных процедур с помощью метода сеток на основании оригинальной таблицы

Многокритериальный выбор представляет собой выбор оптимальных значений параметров по двум или более критериям. Поиск оптимальных параметров машин является одной из самых распространенных научно-технических задач, которые возникают при исследовании процессов, когда нужно найти наилучшие (оптимальные) решения.

При выборе метода оптимизации возникают вопросы:

1) Как минимизировать количество вычислительных процедур?

2) Как сократить время счета?

При решении задач о многокритериальном выборе параметров в качестве основы для расчётов и проведения оптимизации этих параметров может быть использован простейший метод оптимизации – метод сеток (или метод перебора значений всех параметров). Этот метод является наиболее простым методом оптимизации вследствие простого алгоритма его реализации. В этой работе расчеты проводятся на примере управляемого колеса.

Таким образом ответ на поставленный нами вопрос, полученный после сравнения результатов вычислений, которые занесены в таблицу 1, содержащую количество зон устойчивости движения управляемых колес машины (к₁) при одновременном варьировании сначала одного параметра (к₁=1) из десяти различных совокупностей, включающих в себя от 1 до 10 параметров, следующий: оказалось, что при одновременном варьировании n параметров необходимо строить всего лишь одну n-мерную картину устойчивости.

Это позволяет из имеющегося большого количества методов нелинейного программирования выбрать методы случайного поиска.

Рассмотрим примеры расчета из таблицы 1.1:

1) При n = 10, k₁ = 2, f = 3,

(2) = 45 f ⁸ = 45*3⁸ = 45*6561=295245.

Количество слагаемых здесь рассчитано по формуле n (n-1) /2 = 8.

2) При n = 10, k₁= 9 , f = 3,

(9) = 10 f ¹ = 10*3 = 30.

Количество слагаемых в данном случае равно количеству параметров n = 10.

На примере этих расчетов видно, что при увеличении количества одновременно варьируемых параметров ( n = 10, f = 3), количество вычисляемых процедур значительно сокращается:

(2) > (9),

295245 > 30 .

Из таблицы следует, что при варьировании всех параметров системы, т.е. n = k₁, необходимо построить лишь 1 n-мерную картину устойчивости.

Все вышесказанное (исходя из оценки современного процесса проектирования машин) послужило основанием для подбора оптимального решения многокритериальных задач на проектирования машины с помощью ЭВМ. Данная работы впервые позволяет ускорить и упростить вычисления, а не проводить дорогостоящие и долговременные эксперименты.

Теоретическая значимость решения поставленных задач заключается в выводе новых формул и построении картин устойчивости (неустойчивости), что позволяет наглядно представить материал. Кроме того, при решении поставленной задачи было использовано правило круговой подстановки, что значительно ускоряет процесс вычисления.

Научная новизна данной работы заключается в том, что формулы и таблица для расчета количества вычислительных операций для управляемого колеса, используются впервые.

Применение данного метода на практике позволит получить картину устойчивости системы в кратчайшие сроки, что в значительной степени снижает затраты на разработку и проектирование машины.

Таблица 1.1

Число сечений зон устойчивости движений управляемых колёс машин при различном количестве одновременно варьируемых параметров

Количество сечений зон устойчивости движений управляемых колёс машин при различных
1					10		45	120	210	252	210	120	45	10			10
	2 3 4 5 6	2 3 4 5 6	1 1 1 1 1	1 1 1 1 1	20 30 40 50 60		180 405 720 1125 1620	960 3240 7680 15000 25920	3360 17010 53760 131250 272160	8064 61236 258048 787500 1959552	13440 153090 860160 3281250 9797760	15360 264440 1966080 9375000 33592320	15360 264440 1966080 9375000 33592320	5120 196830 2624440 19531250 100776960	1024 59049 1048576 9765625 60466176	2 3 4 5 6
2			2				9	36	84	126	126	84	36	9			9
	2 3 4 5 6	4 9 16 25 36	4 6 8 10 12		1 1 1 1 1	1 1 1 1 1	18 27 36 45 54	144 324 576 900 1296	672 2268 5376 10500 18144	2016 10206 32256 78750 163296	4032 30618 393750 129024 979776	5376 61236 344064 1312500 3919104	4608 7732 589824 2812500 10077696	2304 59049 589824 3515625 15116544	512 19683 262144 1953125 10077696	2 3 4 5 6

Продолжение таблицы 1.1

3				3	3			8				28	56	70	56	28	8			8
	2 3 4 5 6		8 27 64 125 216	12 27 45 75 108	6 9 12 15 18	1 1 1 1 1	1 1 1 1 1	16 24 32 40 48				112 252 448 700 1008	448 1512 3584 7000 12096	1120 5670 17920 43750 90720	1792 13608 57344 175000 435456	1792 20412 114688 437500 1306368	1024 17496 131072 625000 2239488	256 6561 65536 390625 1679616	2 3 4 5 6
4				4	6	4						7	21	35	35	21	7			7
	2 3 4 5 6		4 9 16 25 36	32 108 256 500 864	24 54 96 150 216	8 12 16 20 24			1 1 1 1 1		1 1 1 1 1	14 21 28 35 42	84 189 336 525 756	280 945 2240 4375 7560	560 2835 8960 21875 45360	672 5203 21504 65625 163296	448 5103 28672 109375 326592	128 2187 16384 78125 279936	2 3 4 5 6
5				5	10	10			5											6
	2 3 4 5 6	32 343 1024 3125 7776		80 405 1280 3125 6482	80 405 1280 3125 6482	40 90 160 250 360			10 15 20 25 30		1 1 1 1 1	1 1 1 1 1	12 18 24 30 36	60 135 240 375 540	160 540 960 2500 4320	240 2115 3840 9375 19440	192 1458 6144 18750 46656	64 729 4096 15625 46656	2 3 4 5 6