Лысанович П.В., Ярохович А.И., Гурвич Ю.А.

Белорусский Национальный Технический Университет

Закономерности вращения фигуриста при вязком трении между коньком и льдом

Рис.1

Определим угловую скорость вращения фигуриста относительно оси Z (рис.1) в функции времени  при условии, что момент инерции фигуриста относительно оси Z является переменным (функции времени) с учетом суммарного момента сопротивления воздуха вращающемуся фигуристу и его конька о лед, пропорционального угловой скорости вращения фигуриста  ( - коэффициент пропорциональности).

Используя теорему об изменении кинетического момента фигуриста относительно оси Z, получим , где  - момент инерции фигуриста относительно оси Z в функции времени . Решая это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, получим:

.                                                  (1)

Зададим вид функции . Предварительно примем, что: время вращения фигуриста равно сумме времени разгона и торможения  ; изменяется по линейному закону:

 , где .                                            (2)

Тогда .

Теперь решение (1) с учетом (2) имеет вид:

                             .                                (3)

Рассмотрим 3 случая:  и построим графики для  (3).

1.      Если  (рис.2), тогда (3) примет вид:

,         .                 (4)

Функция (4) определена и возрастает на интервале времени 0 < t < tp, а кривая (4) имеет вертикальную асимптоту t=.  Определим производную по времени от (3) для выявления характера построения графиков:

.                                  (5)

Так как производная (5) положительная величина и возрастает на интервале          0< t < tp, то кривая (3) - вогнутая на этом интервале времени.

2.При =1 кривая (3) примет вид:

const                                                          (6)

 при любом t> взятом из интервала времени 0ttp.

3. Если >1, тогда (3) примет вид:

.                                                                      (7)

Функция (7) определена и убывает на интервале времени 0ttp. Определим первую производную по вре­мени от функции (7):

.                                                       (8)

В связи с видом функции (8) целесообразно рассмотреть еще три случая.

3.1.Если 1< α/β < 2» то производная (8) примет вид:

       .                                                      (9)

Производная (9) - отрицательная величина и убывает на интервале времени      0ttp. Следовательно, кривая (7) в этом случае - выпуклая и убывает на этом интервале времени.

3.2. При α / β = 2 производная (8) - отрицательная и постоянная величина. Следовательно, графиком функции (7) является отрезок прямой на интервале

0ttp.

3.3 При α/ β > 2 производная (8) на интервале времени 0ttp - отрицательная величина и возрастает. Сле­довательно, график (7) убывает и имеет вогнутость на этом интервале времени.

Интересно знать, что будет с ω(t) при  и t>tp? Дифференциальное уравнение вращения фигуриста в этом случае имеет вид:

.                                                               (10)

Решая (10),  получим     .

Необходимо установить вид зависимости ω=ω(t) в тривиальном случае, когда фигурист из положения с I1 переходит в положение I2 (при этом Мс=0).

    Для этого случая имеем:

   .                                                          (11)                                      

Решая (11) получим:

 .                                                                     (12)                                                     

Если в (12) подставить I=I(t)=I1 -βt, то получим:

.                                                           (13)

Рис.1

Графиком функции (13) является гипербола на ин­тервале времени 0ttp (штриховая линия). Сравнивая графики (4) и (13), приходим к выводу о большем значении ординаты (13) по сравнению с ординатой (4).