Корзун А.С., Крайник Д.А., Горбач Н.И., Гурвич Ю.А.

Белорусский национальный технический университет, Минск

 

НЕКОТОРЫЕ  УТОЧНЕНИЯ  ДЛЯ  РЕШЕНИЯ  ЗАДАЧИ

О  ДВИЖЕНИИ  АРТИЛЛЕРИЙСКОГО  СНАРЯДА  В СОПРОТИВЛЯЮЩЕЙСЯ  СРЕДЕ

 

В данной работе приведены уточнения: методики определения дальности полета артиллерийского снаряда; угла α, при котором дальность полета является максимальной и значения двух углов, когда снаряд попадает в одну и ту же точку.

Определение траектории полета снаряда

Движение снаряда в декартовых осях XOY определяется уравнениями:

                                 

Исключив из этих уравнений время t, после соответствующих преобразований получим уравнение траектории в координатной форме:

                           (3)

Разложив выражение  в ряд Тейлора  

получим:   (4)

Полученные слагаемые ряда Тейлора подставим в уравнение (3) вместо выражения  и после соответствующих преобразований получим приближенное уравнение траектории полета снаряда:

.          (5)

Уравнение (5) можно представить в виде:

                               (6)

что позволяет определять уравнение траектории при любом значении числа слагаемых ряда Тейлора. Сравнивая уравнение (5) с известным уравнением траектории полета снаряда в безвоздушном пространстве видим, что первые два слагаемых полностью совпадают, то есть на начальном участке (восходящая ветвь) траектория близка к параболе, а затем с увеличением х (нисходящая ветвь) будет отличаться от параболы.  В работе учитывались только четыре первых слагаемых ряда Тейлора, что позволило без двух последних слагаемых уравнения (5) при y=0 получить формулу для определения дальности L полета снаряда.

                                  (7)

Как показали дальнейшие исследования и расчеты дальность полета снаряда, определенная по этой формуле, весьма завышена. Это говорит о том, что нельзя ограничиваться в разложении функции  только первыми тремя производными. Более того, дальность полета не может превышать значение , так как  или отрицательного числа не существует. Поэтому дальность полета в метрах должна быть:

Определение угла α, при котором дальность  полета снаряда будет максимальной.  Значение S определяем по формуле (8) при  и различных углах  от  до  с шагом . Вычисления производим на ЭВМ по разработанной нами программе, результаты которых приведены в таблицах 1 и 2. Получим уравнение (8):

                                                    

Таблица 1

Начальная скорость V0=800 м/с

α, град

5°

10°

15°

20°

25°

30°

4433,62

7178,88

8930,28

10021,2

10633,4

10876,3

α, град

35°

40°

45°

50°

55°

60°

10821,5

10519,4

10007,9

9317,24

8473,19

7498,35

α, град

65°

70°

75°

80°

85°

 

 

Из таблицы 1 видим, что при начальной скорости V0 = 800 м/с  максимальная дальность полета будет при угле  от 30° до 34°.

Для более точного определения угла построим новую таблицу (табл. 2), изменяя угол наклона ствола орудия к горизонту от 30° до 34° с шагом h = 0,1º.

Таблица 2

30

10876,3

31

10887,32

32

10886,94

33

10875,59

30,1

10877,93

31,1

10887,78

32,1

10886,29

33,1

10873,87

30,2

10879,44

31,2

10888,14

32,2

10885,53

33,2

10872,04

30,3

10880,83

31,3

10888,38

32,3

10884,67

33,3

10870,1

30,4

10882,1

31,4

10888,51

32,4

10883,69

33,4

10868,07

30,5

10883,26

31,5

10888,53

32,5

10882,61

33,5

10865,92

30,6

10884,3

31,6

10888,43

32,6

10881,42

33,6

10863,68

30,7

10885,23

31,7

10888,22

32,7

10880,12

33,7

10861,33

 

Анализ таблицы 2 показал, что при αопт = 31,5о а  Smax = 10888,53 м.

Этот угол определялся так же с использованием формулы (8). Исследовав это выражение на экстремум, было получено кубическое уравнение относительно угла α, которое было решено с помощью формулы Кардана. Значение угла α, при котором  при k = 0,004 с/м, , оказалось равным 34,2о, т.е. на  больше, чем получено нами.  Разницу этих значений можно объяснить тем, что при использовании формулы Кардана допускались некоторые неточности в вычислениях в результате округлений

Сравнение траектории полета снаряда, вычисленной по приближенному уравнению, с траекторией, полученной по точному уравнению Для этого построим четыре траектории полета снаряда при оптимальном угле  (рис. 1). Первые три траектории вычислим по приближенному уравнению (6), а четвертую − по точному уравнению (3):

траектория 1 – вычисляется по приближенному уравнению, при ;

траектория 2 – вычисляется по приближенному уравнению, при ;

траектория 3 – вычисляется по приближенному уравнению, при ;

траектория 4 – вычисляется по точному уравнению.

Рисунок 1

 

Из рисунка 1 видим, точность определения дальности полета снаряда будет стремиться к значениям, полученным из уравнения (3).

Заключение: Показано, что с увеличением числа членов разложения выражения , входящего в уравнение траектории полета снаряда в ряд Тейлора, увеличивается точность определения дальности полета снаряда.