Математика/4.
Прикладная математика
К.т.н.
Сластин Ю.В., Федоренко В.Е.
Харьковский
национальный технический университет сельского хозяйства имени Петра Василенко
ПОСТРОЕНИЕ ОБВОДОВ КУБИЧЕСКИХ ПОЛИНОМОВ БЕЗ ТОЧЕК ПЕРЕГИБА
Пусть
нужно построить обвод точек М(хМ ;
уМ) и N(хN
; yN) с заданными в них значениями производных 
и 
с помощью полинома
третьего порядка
(1)
Коэффициенты полинома определим, исходя из граничных
условий
при х=хМ D=уМ (2)
при х=хМ 
(3)
при x=xN имеем
, (4)
где h=xN - xM
Разрешив систему (4) относительно А и В, получим:
(5)
(6)
Вторая производная полином третьего порядка
(7)
Является линейной функцией и имеет один действительный
корень
(8)
что соответствует одной точке перегиба исходного
полинома.
Точка перегиба находится вне рассматриваемого
интервала (хМ, хN) или на его
концах, если выполняются неравенства
(9)
- точка перегиба
находится слева от рассматриваемого интервала, и
или 
- (10)
- точка перегиба находится справа от рассматриваемого
интервала.
После подстановки (5) и (6) в (9) и (10) неравенства
принимают вид:
(11)
(12)
Неравенства (11) и (12) справедливы при h > 0, при h < 0 знак неравенства нужно изменить на противоположный.
Если условия (11) и (12) не выполняются, то поворотом
вокруг начала координат найдем ту систему координат (х',у') в которой бы они выполнялись. Координаты точек М и N
в системе х'у' определяются по
формуле преобразования системы координат:
(13)
Выведем формулу определения величин 
и 
через заданные
значения 
и 
и угол поворота системы координат.
Уравнение касательной к линии обвода в заданной
системе имеет вид:
(14)
Ее уравнение в новой системе координат получается с
помощью преобразования:
(15)
После подстановки (15) в (14) получим:
(16)
Это есть уравнение прямой с угловым коэффициентом,
которым является тангенс угла касательной к оси Ох' . Таким образом:
(17)
Аналогично
(18)
Определим угол α , при котором выполняется равенство (11), имеющее в системе х'у' вид:
(19)
где h'=х'N
– х'М
Подставляя в (19) 
выраженные по
формулам (13), (17) и (18) и, решая относительно α , получим:
(20)
Зная значение α при котором выполняется равенство (11), легко определить при
каких значениях будет выполняться и неравенство (11). Об этом можно судить,
подставив в (11), занесенные через формулы преобразования к новой системе
координат, некоторые значения α ,
близких к определенному по формуле (20).
Для построения обвода в заданной системе
координат нужно на новые координаты точек обвода подставить формулы
преобразования.
Пример:
Построим обвод точек 
и 
; 
По формулам (2), (3), (5), (6) находим
А =
5,5; В = -7,5; С = -1; D = 5
Корень второй производной 
является точкой
перегиба линии обвода и находится в пределах рассматриваемого интервала
изменения аргумента.
Такой обвод представлен на рисунке штриховой
линией.
Поворотом системы координат вокруг начала
на угол α перейдем к новой
системе координат, в которой конструируемый обвод не будет иметь точек
перегиба.
Для этого
по формуле (20) определяем
Для этого по формуле (20) определяем tgα=5,0, что соответствует α=78°1´. Взяв α=80°, убеждаемся в выполнении условия (11), что обеспечивает отсутствие
точек перегиба у обвода.
Определяем координаты исходных точек и значения
производных в них в новой системе координат и вычисляем коэффициенты полинома
по приведенным выше формулам, строим обвод заданных точек. (рис.1)
х´M
=5,273; у´M = -1,1;
х´N = 2,493; у´N = -2,602
А =
0,113; B = 0.033; C= 1.5;
D = -1.1
Тогда уравнение кривой обвода имеет вид:
Рис.1