Об октаэдре с тригонометрическим базисом

Математика / 4. Прикладная математика

Мотайло А.П., Хомченко А.Н.

Херсонский национальный технический университет, Украина

Об октаэдре с тригонометрическим базисом

Введение. Задача интерполяции функции трёх независимых переменных в вычислительной математике, как правило, решается с привлечением базисных функций тетраэдра и гексаэдра. Об использовании октаэдра как конечного элемента при решении задач численного моделирования и визуализации трёхмерных объектов стало известно в 1998 г. из работы [1], где применяются пространственные решётки из тетраэдров в сочетании с октаэдрами. Позднее в 2010 г. конструкция из гексаэдра и вписанного в него октаэдра была использована в задаче об идеальном течении жидкости в 3D [2]. Центрированная модель октаэдра (7 узлов) в каждом из описанных случаев была оснащена полиномиальным базисом: кусочно-линейным [1] и квадратичным [2]. Как и следовало ожидать, кусочно-линейная модель стала прообразом последующих модификаций. Оказалось, что из неё можно получить квадратичную модель, если должным образом заменить на каждом координатном направлении прямолинейные участки фрагментами квадратичной параболы. Возникает вопрос: можно ли путём формальной замены прямолинейных отрезков подходящими фрагментами кривых получить систему тригонометрических функций, обладающую необходимыми свойствами базиса? При этом наряду с центрированным октаэдром несомненный интерес представляет и нецентрированный октаэдр (6 узлов).

Анализ предшествующих публикаций, цель работы. Главным катализатором нарастающего интереса к октаэдру стали исследования Р.Гроссо и Г.Грайнера из Нюрнбергского университета (Германия). Эти авторы в работе [1] без каких-либо ссылок на предшественников привели пример кусочно-линейного базиса центрированного октаэдра. Из текста статьи можно сделать вывод, что Р.Гроссо и Г.Грайнер первыми распространили на октаэдр одномерные модели функций-"крышек" ("полукрышек"). Такие функции по праву занимают исключительное место в теории приближения функций, особенно, в конечно-элементных аппроксимациях. Достаточно вспомнить пирамидальную функцию Куранта, её обобщение Аргирисом и Тернером, функцию-"пагоду", барицентрические координаты тетраэдра. Базис Гроссо-Грайнера продолжает эту последовательность. В 2010г. де Брюн [2] получил центрированную модель октаэдра с квадратичным базисом. Пример де Брюна стимулировал поиски других нелинейных базисов октаэдра. Интересно установить возможность разложения физического поля в октаэдре по тригонометрическому базису.

Цель статьи – построить центрированную и нецентрированную модели октаэдра с тригонометрическими базисами.

Основная часть. На рис.1 изображён октаэдр, вершины которого расположены на сфере единичного радиуса. Оси координат проходят через противолежащие вершины. Это обеспечивает "равноправие" аргументов интерполянта. Заметим, что новые замечательные свойства базисов октаэдра связаны с возможностью разделения переменных, что является результатом удачного выбора системы прямоугольных координат.

Рис.1. Октаэдр

Базис октаэдра – это набор функций, которые ассоциируются с расчётными узлами октаэдра и удовлетворяют интерполяционной гипотезе типа Лагранжа. Центрированная модель [1, 2] использует семь узлов, расположенных в вершинах и барицентре октаэдра. В нецентрированной модели внутренний узел исключен. С вычислительной точки зрения нецентрированная модель

лучше. Именно поэтому в конечно-элементных расчетах стараются устранить внутренние узлы, если это возможно. Ниже мы покажем, как именно осуществляется процедура исключения узла в барицентре октаэдра на примере кусочно-линейного и квадратичного базисов [1, 2].

В табл.1 формулами (1), (2) определены кусочно-линейные базисы семи и шестиузловой моделей октаэдра.

Таблица 1

Кусочно-линейные базисы октаэдра

Базис 7-узловой модели [1]

Базис 6-узловой модели

(1)

(2)

Базисные функции (1) обладают следующими свойствами: где – символ Кронекера; – номер функции; – номер узла. Соответствующий интерполянт имеет вид: где – узловые значения интерполируемой функции.

Кусочно-линейный базис (2) получается из базиса (1) с помощью известной в методе конечных элементов процедуры конденсации (сгущения) [3], согласно которой базисная функция, соответствующая центральному узлу, равномерно распределяется по вершинам октаэдра. При этом , где . Полученный в результате базис (2) обладает всеми необходимыми свойствами, а именно: , где – символ Кронекера; – номер функции; – номер узла. Интерполянт принимает вид где – узловые значения интерполируемой функции.

В табл.2 формулами (3), (4) определены квадратичные базисы семи и шестиузловой моделей октаэдра.

Таблица 2

Квадратичные базисы октаэдра

Базис 7-узловой модели [2]

Базис 6-узловой модели

(3)

(4)

Автор [2] нашёл оригинальный, но весьма громоздкий способ конструирования базиса (3). Известны более простые и наглядные способы построения этого базиса, например, вероятностно-геометрический [4]. Заметим, что базис (3) проще всего получить из базиса (1) путём формальной замены абсолютных величин аргументов их квадратами. Понятно, что (4) можно получить из (3) с помощью процедуры конденсации, как бы "размазывая" центральную функцию по узлам в вершинах. Существуют и другие способы построения базиса (4). Например, вероятностно-геометрический подход конструирования базиса (4) описан в работе [5]. Наконец, базис (4) можно получить из базиса (2) путём формальной замены абсолютных величин аргументов их квадратами.

В табл.3 формулы (5), (6) определяют два новых тригонометрических базиса октаэдра для центрированной и нецентрированной моделей соответственно.

Таблица 3

Тригонометрические базисы октаэдра

_{Модели октаэдра}

Базисы октаэдра

_{Семиузловая}

(5)

_{Шестиузловая}

(6)

Очевидно, что функции, определённые формулами (3)-(6) наделены всеми необходимыми свойствами базиса типа Лагранжа.

Выводы. Иерархические формы базисных функций октаэдра можно конструировать из слабо изогнутых функций-"крышек". В работе получены квадратичные базисы, два новых тригонометрических базиса центрированной и нецентрированной моделей октаэдра путём замены прямолинейных участков кусочно-линейного базиса (с 7-ю и 6-ю узлами) фрагментами квадратичной параболы и синусоиды соответственно. Естественно предположить, что существует бесконечно много других моделей (иной кривизны), способных стать последующими модификациями кусочно-линейного базиса октаэдра, например, функции Кунса. Вопрос о целесообразности построения таких базисов может быть решён в рамках определённой практической задачи.

Литература:

1. Grosso R. Hierarchical Meshes for Volume Data [Электронный ресурс] /
R. Grosso, G. Greiner // Computer Graphics International 1998 (CGI`98). − 1998. − P. 761−771. − Режим доступа:

http://scholar.google.com/scholar?q=%22Hierarchical+Meshes+for+Volume+Data.%22.

2. Bruijn H. Numerical Method for 3D Ideal Flow [Электронный ресурс] / Han de Bruijn // Режим доступа: http://hdebruijn.soo.dto.tudelft.nl/jaar2010/octaeder.pdf.

3. Митчелл Э. Метод конечных элементов для уравнений с частными производными / Э. Митчелл, Р. Уэйт. – М.: Мир, 1981. – 216 с.

4. Хомченко А.Н. Вероятностная концепция полиномиальной интерполяции в октаэдре / А.Н.Хомченко, А.П. Мотайло // Проблеми математичного моделювання. Тези доповідей міждержавної науково-методичної конференції. − Дніпродзержинськ: ДДТУ, 2011. − С. 20−22.

5. Хомченко А.Н. Вероятностно-геометрическое конструирование базиса октаэдра / А.Н. Хомченко, А.П. Мотайло // Геометричне та комп’ютерне моделювання: збірник наукових праць. − Харків: ХДУХТ, 2011. − С. 51−56.