Математика / 4. Прикладная математика

Подольский Д.В., к. ф.-м. н. Соколов Б.М.

Санкт-Петербургский государственный университет. Россия

 Cтабилизация нелинейных объектов специального класса с частичным наблюдением

Введение. В настоящей работе рассматривается задача стабилизации решений системы дифференциальных уравнений, характеризующейся  наличием устойчивой линейной части, специальной нелинейности и линейно входящего вектора управления. 

Данная задача является обобщением задач, встречающихся при полимеризации синтетического каучука в ба­тарее реакторов (см. [1]).  Исходные продукты, возмущающие и управляющие переменные поступают на вход первого ап­парата. Поставленная задача решается стабилизацией выходных параметров последнего реактора. В данной математической модели выходом является температура и концентрация полимера в последнем аппарате. Особенность задачи состоит в том, что управляющие воздействия непосредственно влияют на концентрацию активных центров, динамика изменения которой описывается нелинейным диффе­ренциальным уравнением в отличие от работы [2], где нелинейность содержала малый параметр. Сама же концентрация активных центров не измеряется, но входит в нелинейные уравнения, описывающие динамику температуры полимеризации  и концентрации полимера. Расход катализатора является управляющим воздействием. Работа анонсирована  в тезисах [3].

В данной работе рассмотрен алгоритм управления, построен частичный нелинейный наблюдатель для оценки неизмеряемых компонент состояния, доказана теорема о стабилизации системы при переменном управлении.

Постановка задачи. Рассматривается объект вида

                                                                 (1)

Здесь  и  устойчивые матрицы,  - нелинейная матричная функция, удовлетворяющая условию ограниченности и секторному условию

                             (2)

где  стационарное  решение  уравнения статики для уравнения (1):    где                                     и - постоянные число и векторы, - управление. Из уравнения статики также получаем стационарное значение вектора  

                                                    

и стационарное значение управления

                                                              (3)

при условии, что

                             и                                        (4) 

Задача управления объектом  (1) состоит в построении управляющих воздействий (3) таких, что обеспечивается стабилизационная цель управления

                   .                        (5)

Теорема 1. Предположим, что в системе (1)  матрицы  и  гурвицевы, матричная функция  удовлетворяет условию (2), (4)  и выполняется неравенство  Здесь  и - наименьшее и наибольшее собственные числа матриц  и  соответственно.                                               

Пусть - вектор, являющийся единственным стационарным решением системы (1). Тогда при управлении (3) выполнена цель управления (5) независимо  от выбора начального состояния  [1].

Cтационарное управление даёт затянутые переходные процессы. Лучше использовать управление с обратной связью. При измерении части компонент состояния можно рассматривать асимптотический наблюдатель с состоянием  для восстановления неизмеряемого вектора  и использовать в нём известный выход  (измеряемый с объекта).

Построение наблюдателя. Рассмотрим нелинейный наблюдатель вида

                                                                       (6)                              Введём вектор . Этот вектор удовлетворяет дифференциальному уравнению   Рассмотрим функцию , матрица находится из уравнения Ляпунова  где  заданная матрица. Предполагая ограниченность функции     имеем неравенство   где  и  - минимальное и максимальное собственные числа матриц   и , соответственно. При выполнении неравенства

                                                                                                       (7) производная квадратичной функции  будет отрицательной и  по теореме Ляпунова будем иметь   при . При этом, благодаря выполнению условия (7), имеем экспоненциальную сходимость. Итак, доказана  

Теорема 2. Пусть компоненты  вектора состояния  в системе   (1)  неизвестны. Рассмотрим частичную  модель объекта этой ненаблюдаемой части системы (уравнение (6)).  Тогда при выполнении неравенства (7), если модель (6) стабилизируема, то и объект (второе уравнение системы (1)) стабилизируем.

Выбор  управления. Будем вычислять управление объектом (1) по частичной модели. Запишем уравнения (1) и (6) в отклонениях от стационарных значений состояния .

                                              (8)   ,     

Производная функции , где матрица  получена, как и раньше, по матрице  из уравнения Ляпунова с матрицей , имеет вид      при

                                                 (9)     

Предполагается, что на поверхности  нет точек сгущения траекторий , то  есть  траектории  «протыкают» поверхность ,  не

оставаясь на ней.  Это  предположение  практически  очень  часто  выполнено.

Отсюда следует экспоненциальное стремление    при  

Сходимость по выходу.  Неравенства (2) примут вид:   Рассмотрим функцию где матрица  удовлетворяет соответствующему уравнению Ляпунова с матрицами  и  Производная этой функции вдоль решений системы (8) оценивается так:  где

                                                                               (10)

 и - минимальные собственные числа матриц  и  соответственно, a  - максимальное собственное число матрицы . Введём функцию  Для неё имеет место неравенство . Решения этого неравенства мажорируются ре- шением устойчивого уравнения , где   экспоненциально при , а потому и   при  

Теорема 3. Пусть выполнены условия: 1) в уравнениях (1)  вторая компонента состояния не измеряется, 2) выполнены условия предыдущих теорем. Дополнительно выполнено неравенство (10), а также выполнено условие отсутствия точек сгущения траектории  на поверхности .

Тогда формула (9) определяет управление, стабилизирующее исходный нелинейный объект (1) по выходу.   

Заключение. В данной работе построен алгоритм стабилизации нелинейного объекта с линейной устойчивой частью, часть компонент состояния которого не измеряется. Доказаны теоремы об устойчивости наблюдателя для части состояния и получено управление в виде обратной связи по выходу. Доказано, что такое управление стабилизирует исходную систему.

Проведённые многочисленные эксперименты на компьютере показали работоспособность рассмотренных алгоритмов управления. В этих экспериментах знаменатель в формуле (9) для управления никогда не обращался в ноль.

Литература

1.     В.П. Дождев, Б.Д. Любачевский, Б.А. Перлин, Б.М. Соколов,

     П.П. Шпаков, В.А Якубович. Адаптивное управление полимеризаци-   

     онным реактором // Приборы и системы управления. 1977. №2. С. 7-9.  

2.     Б.М. Соколов, В.Н. Фомин. Адаптивное управление системами с ненаблюдаемой квазилинейной частью на примере одной задачи химической кинетики // 5-й Международный семинар «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления». М.: Изд-во ИПУ РАН, 1998. С. 88.

3.     Д.В. Подольский, Б.М. Соколов. Управление процессом полимеризации в случае нелинейного объекта с частичным наблюдением // 10-я Крымская международная математическая школа «Метод функций Ляпунова и его приложения» Тезисы докладов. Алушта: Изд-во ТНУ, ДИАЙПИ, 2010.

    С. 117.