ДОРОФЄЄВ О.А.
Хмельницький національний університет
Технічні науки
ВРАХУВАННЯ ВНУТРІШНЬОГО КУЛОНОВОГО ТЕРТЯ СЕРЕДОВИЩА В МОДЕЛЯХ
ВЗАЄМОДІЇ
Детальний аналіз відомих лінійних та нелінійних моделей показує, що
основними їх недоліками при використанні як моделей взаємодії елементів машин з
дискретним середовищем є:
- неможливість відображення впливу
внутрішнього тертя на закономірність деформування дискретних матеріалів;
- відсутність достовірних науково
обґрунтованих методик та приладів для лабораторних досліджень закономірностей
деформування дискретних матеріалів і визначення розрахункових параметрів
моделей;
- відсутність алгоритмів та програм
розв’язання задач взаємодії на базі цих моделей.
Отже модель повинна бути побудована таким чином, щоб шляхом
безперервної чи дискретної зміни впливаючих на процес взаємодії параметрів,
прогнозувати поведінку системи.
Вхідними параметрами можуть бути: переміщення робочого органу;
швидкість переміщення машини; сили, що передаються робочими органами чи рушіями
середовища. Відповіддю (відгуком) середовища будуть його реакції, що
сприймаються контактними елементами машини.
Сформулюємо основні особливості математичної моделі, яка описує
взаємодію машини з дискретним середовищем.
1.
В першу
чергу модель повинна описувати зв’язок між зусиллями, що виникають на контакті
середовища з робочими органами та рушіями, і технологічними параметрами:
швидкістю переміщення машини, геометрією контактних поверхонь умов роботи
машини та інше.
Теоретичною основою такої моделі може бути розв’язання контактної чи
межової задачі теорії суцільного середовища, яка крім граничних умов включає
умови рівноваги, умови суцільності і нерозривності та фізичні співвідношення
між напруженнями і деформаціями, що відображають характерні особливості
деформування матеріалу середовища в дограничному та граничному станах.
2.
Ідеальна
модель технологічного процесу, що описує взаємодію машини з дискретним
середовищем, повинна враховувати динамічний характер взаємодії.
Динамічна теорія має різні напрямки розвитку: розрахунок за хвильовою
теорією з урахуванням хвильових явищ; стохастична теорія, яка базується на
імовірнісних методах [1, 2]. Існує і ряд інших методів – спектральний,
розрахунок за акселерограмами тощо. Але завдяки тому, що рівень знань в області
динамічної поведінки дискретних матеріалів недостатній, динамічні моделі в
задачах взаємодії практично не використовують.
Якщо при розв’язанні поставленої задачі неможливо знехтувати динамічною
взаємодією складових системи, то найчастіше використовується квазістатичний
підхід, тобто за основу береться статична теорія, наприклад, граничного стану,
і на неї накладається дія сил інерції, що з різною ймовірністю враховує
динаміку процесу.
3.
Найбільш
суттєвою вимогою до моделі є необхідність якомога повного відображення нею
характерних для дискретних матеріалів закономірностей деформування і
руйнування. Визначальним для дискретних матеріалів є вплив стискуючих напружень
на величину деформацій зсуву в дограничній стадії, а також на величину
граничного опору. Це розглядається як прояв внутрішнього тертя на всіх етапах
деформування аж до моменту руйнування матеріалу шляхом утворення поверхні
проковзування.
Різні області дискретного середовища одночасно знаходяться як в
граничному, так і в дограничному станах, тому проводити межу між цими станами
не коректно. Навіть у зоні руйнування дискретного середовища частина, що
знаходиться в дограничній стадії деформування суттєво впливає на
напружено-деформований стан сусідньої, граничної частини. Це відбувається
завдяки особливостям структури дискретного середовища, структурні зерна та
частинки якого мають можливість переорієнтації та деякого ущільнення, що
суттєво “знімає” напруження з граничних зон.
Зважаючи на те, що елементи машини контактують з середовищем, де
існують одночасно області як граничного, так і дограничного стану, доцільно цю
взаємодію описувати однією моделлю, яка б відображала вплив внутрішнього тертя
на усіх етапах деформування аж до утворення єдиної поверхні ковзання.
В такій постановці середовище є ланкою, що об’єднує усі елементи машини
в єдину комплексну систему “машина – середовище”.
Узагальнюючи сказане, запишемо визначальні фізичні співвідношення
моделі в інваріантній формі. За інваріанти для дискретного матеріалу зручно
вибрати октаедричні напруження 
, 
і деформації 
, 
, що виникають по площинці, рівнонахиленій до головних осей.
Закон зміни об’єму елемента без впливу дилатансії можна записати у
формі:
. (1)
Закон зміни форми з урахуванням внутрішнього тертя –
. (2)
Умова переходу в граничний стан
, (3)
де 
і 
– експериментальні
параметри: 
– гранична величина кута відхилення повного октаедричного
напруження від нормалі; 
– опір зсуву по октаедричні площинці при 
.
В останніх двох залежностях (2), (3) вплив внутрішнього кулонового
тертя на процес деформування дискретного матеріалу в дограничній і граничній
стадії враховується залежністю деформацій зсуву і опору зсуву від відношення
дотичного напруження до нормального 
.
Найменш вивчено закономірність формозміни дискретного матеріалу, котра
є основою реологічної моделі середовища.
В основу математичної моделі співвідношення, що описують закономірності
зміни об’єму і форми дискретного середовища.
Закономірності зміни об’єму дискретних матеріалів зручно описувати
залежністю
, (4)
де 
– змінний модуль об’ємної
деформації, що залежить від величини стискуючого напруження 
.
Цей модуль можна визначити з співвідношення механіки твердого
деформівного тіла
, (5)
де 
– змінний модуль зсуву, який залежить від величини
стискуючого напруження та визначається експериментально; 
– коефіцієнт Пуассона.
Спеціально проведені дослідження показали, що коефіцієнт Пуассона 
для дискретних
матеріалів змінюється в малому діапазоні – від 0,3 до 0,5. Це дає можливість
визначати модуль об’ємної деформації з сімейства кривих 
при 
.
Закономірність зміни форми в системі осей 
запропоновано
описувати зручною для розрахунків степеневою залежністю
, (6)
де 
і a – дослідні параметри, методика
визначення котрих описана у [3].
Перехід матеріалу в граничний стан описується умовою Боткіна або
Кулона–Мора.
Отже, запропоновано в основу математичної моделі взаємодії елементів
машини з дискретним середовищем покласти фізичні співвідношення, що описують в
закономірності деформування матеріалу середовища.
Запропоновано закономірність об’єму описувати в формі
,
де 
– змінний модуль
об’ємної деформації, величина якого залежить від досягнутого рівня
напружено-деформованого стану.
Закономірність зміни форми в системі осей 
запропоновано
описувати степеневою залежністю
,
де 
, 
, 
– октаедричні
напруження і деформації; 
, a – безрозмірні параметри дискретного
матеріалу, що визначаються експериментально.
Умова переходу в граничний стан – 
.
Література