Ибрагимов У.М., Бахбердиева К.М.

Южно-Казахстанский государственный университет им. М.Ауезова,

г.Шымкент, us-ibr@rambler.ru

О задаче оптимального перехода

под воздействием управления

1. Постановка задачи. Пусть управляемый объект описывается уравнением

(1)

где мерный вектор евклидова пространства постоянная матрица порядка управляющий параметр, непустое подмножество пространства . В пространстве выделено непустое подмножество , которое называется терминальным.

Определение 1. Будем говорить, что из точки возможен переход на , если существует измеримая функция , , такая, что решение , уравнения

, (2)

при попадает на , т.е. . Время будем называть временем перехода из точки на множество .

Определение 2. Время перехода из точки на множество называется оптимальным, если для произвольного времени перехода имеет место неравенство

2. Основная часть. Через обозначим пространство всех подмножеств , через - пространство всех замкнутых, через пространство всех компактных подмножеств пространства .

Пусть , произвольная функция со значениями в пространстве Интегралом называется множество тех и только тех точек , для каждой из которых существует суммируемая функция , , такая, что , для почти всех . В дальнейшем, изменив, если нужно, значения функции , на множестве меры нуль, будем считать, что при всех .

Через , , обозначим множество ; при положим . Имеет место следующая.

Лемма. Для возможности перехода из точки на необходимо и достаточно, чтобы

(3)

для некоторого .

Доказательство. Достаточность условия (3). Имеем . По определению алгебраической суммы множеств в векторном пространстве существует точки и , такие, что . По определению же интеграла от функции , , существует симмируемая функция , , для которой , для всех . Ввиду гомеоморфности отображения суммируемой будет и функция , . Очевидно, что для всех . Такими же свойствами обладает и функция , .

Покажем, что под воздействием управления , фазовая точка переходит из на . Действительно, для решения , , уравнения (2) соответствующего управлению , , имеем

. (4)

Необходимость условия (3). Ввиду автономности уравнения (1) все управления можно считать определенными на сегментах вида .

Ясно, что если под воздействием управления , фазовая точка переходит из на , то для решения , имеем

(5)

Очевидно, функции , , , , суммируемы и , , для почти всех . Поэтому

.

Так как , то .

Лемма доказана полностью. С помощью леммы можно получить полное описание тех точек, из которых возможен переход на .

3. Вывод. Для возможности перехода из точки на необходимо и достаточно, чтобы для некоторого .

Л и т е р а т у р а

1. Понтрягин П.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М., "Наука", 1969

2. Ibragimov U.M. Task of vitality in discrete inclusions. Nauka i studio. NR 6 (11), 2008. Techniczne nauki. p.74-77.