УДК 625.122: 627.824

Куандыкова Д.Р. – к.т.н, доцент Казахской академии транспорта и коммуникаций им. М.ТынышпаеваА Республика Казахстан, г.Алматы

К ВОПРОСУ О ВЛИЯНИИ ФИЗИЧЕСКОЙ И ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ НЕЛИНЕЙНОСТИ НА НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ НИЖНЕГО СТРОЕНИЯ РЕЛЬСОВОГО ПУТИ

Проектирование и сооружение нижнего строения рельсового пути, т.е. земляного полотна, удовлетворяющего современным требованиям, связано с всесторонними исследованиями прочности при действии статических и динамических, в т.ч. и сейсмических нагрузок, в районах подверженных землетрясениям [1, 2]. Все основные элементы рельсового пути работают в тесном взаимодействии и взаимозависимости друг от друга, причем неисправность любого элемента пути сказывается на состоянии и работе других. Для обеспечения стабильной работы рельсового пути на всем протяжении эксплуатации существенное значение имеет прочность и устойчивость нижнего строения, его сооружений и устройств. Постоянные и временные нагрузки, передающиеся на нижнее строение рельсового пути, вызывают в нем напряжения и неупругие остаточные деформации. Внедрение скоростного и высокоскоростного движения поездов показало, что при расчетах прочности и устойчивости нижнего строения рельсового пути уже недостаточно определения средних или максимально вероятных значений напряжений, необходимо выявлять характер их распределения вдоль пути и в поперечном сечении нижнего строения рельсового пути.

Технический прогресс на железнодорожном транспорте, связанный, в частности, с совершенствованием конструкций рельсового пути обусловило необходимость развития и совершенствования методов расчета верхнего и нижнего строения рельсового пути на прочность и устойчивость [3-9], причем чем полнее оно отражено в методе расчета, тем она лучше. В современных условиях существует объективное требование дифференцирования прочности рельсового пути и его элементов по грузонапряженности и скорости движения: чем выше грузонапряженность и скорость, тем более надежным, а следовательно, и более прочным должен быть путь.

Многие модели используемые при расчетах рельсового пути не могут на современном уровне описывать реальное напряженное состояние, возникающее в теле нижнего строения пути и его основания при нагружении. По [10 с. 3] до настоящего времени практически отсутствуют исследования, в которых были бы изложены методы нелинейного расчета, полученные на основе нелинейных моделей, в т.ч. с учетом температурного фактора, существенно влияющего на состояние материала нижнего строения.

Анализ существующих и разработка надежных методов прогноза устойчивости системы «нижнее строение-основание» в сложных инженерно-геологических условиях с учетом температурного фактора, анизотропии и реальных свойств деформирования материала грунта – как физической, так и геометрической нелинейности, - а также создание на их основе комплекса специально проблемно-ориентированных пакетов прикладных программ, позволяющих автоматизировать исследования статического упругого и упругопластичного состояния нижнего строения и его основания при воздействии статических и динамических в т.ч. сейсмических нагрузок и, предназначенных для решения реальных инженерных задач, является проблемной и актуальной.

По [10 с.7] для большого числа элементов рельсового пути, в частности нижнего строения, на моделях линейного анализа довольно точно отражается действительное поведение взаимодействия нижнего строения с основанием до определенного уровня внешних воздействий. Результаты расчета, полученные в пределах линейной теории, не всегда достаточно точны, что может неблагоприятно отразится на надежности работы системы «нижнее строение – основание». Кроме того, имеются серьезные трудности из-за сложности механизма взаимодействия системы «нижнее строение – основание» и неоднородности инженерно-геологических условий площадки строительства. Это требует создание численных алгоритмов с затратами большого времени решения и значительных ресурсов оперативной и внешней памяти.

Упругое состояние системы «нижнее строение-основание» с учетом анизотропии грунта основания в условиях плоской деформации описывается уравнениями обобщенного закона Гука:

{σ} = [cpD]{ε}, (1)

где {σ} = {σ_х, σ_z, τ_хz}^T, {ε} = {ε_х, ε_z, λ_хz}^T, [cpD] = [d_ij], (i,j = 1,2, 3) – матрица упругости, элементы которой имеют вид:

d₁₁ = а₁₁соs⁴φ + 2(а₁₃ + 2а₅₅)sin²φcos² φ + а₃₃sin⁴φ,

d₂₂ = а₁₁соs⁴φ + 2(а₁₃ + 2а₅₅)sin²φcos² φ + а₃₃соs⁴φ,

d₁₂ = а₁₂ + [а₃₃ + а₁₁ – 2(а₁₃ + 2а₅₅)]sin²φсоs²φ,

d₁₃ = [а₁₁соs²φ - а₃₃ + 2а₅₅)sin²φ – (а₁₃ + 2а₅₅)cos2φ]sinφсоsφ,

d₂₃ = [а₁₁sin²φ - а₃₃cos²φ + (а₁₃ + 2а₅₅)cos2φ]sinφсоsφ,

d₃₃ = а₅₅ + [а₁₃ + а₂₃ – 2(а₁₃ + 2а₅₅)]sin²φcos²φ,

d_ij = d_ij , где а₁₁= а₂₂ = Е₁((1 + ν₁)(n(1 - ν₁) - 2ν₂² ))^-1,

а₁₂ = Е₁(n(1 + 2ν₂² )((1 + ν₁)(n(1 - ν₁) - 2ν₂² ))^-1,

а₁₃ = Е₁ν₂(n(1 - ν₁) - 2ν₂² ))^-1, а₃₃ = Е₁(1 - ν₁)(n(1 - ν₁) - 2ν₂² ))^-1,

а₄₄ = а₅₅ = G₂, n = Е₁Е₂^-1. } (2)

В выражении (2) Е_k, ν_k, (k = 1,2) и G₂ – модули Юнга, коэффициенты Пуассона, модуль сдвига анизотропного грунтового массива; φ – угол наклона плоскости изотропии к оси Ох.

Общее определение деформаций, справедливое как для больших, так и для малых перемещений, введено Грином и Сен-Венаном. В фиксированной декартовой системе координат ху деформации определяются через перемещения u, v с помощью тензора Грина соотношениями:

ε_х = ∂u/∂x + 0,5[(∂u/∂x)² + (∂ν/∂х)²], ε_у = ∂ν/∂x + 0,5[(∂u/∂у)² + (∂ν/∂у)²],

γ_ху = ∂u/∂у + ∂u/∂x + [(∂u/∂у)(∂u/∂х) + (∂ν/∂x)(∂ν/∂у)]. (3)

Получена основная разрешающая система нелинейных уравнений, связывающих внешние силы, действующие в узлах элемента «е», с перемещениями узлов, причем независимо от того, велики или малы перемещения, внутренние и внешние силы должны удовлетворять условиям равновесия:

{ψ^е} = ∫[срB]^Т{σ^e}dV - {R^e} = 0, (4)

^V

где {ψ^е} – сумма внешних и внутренних сил элемента;

{R^e} – вектор внешних сил элемента.

Матрица [срB] определяется из соотношения, представляющего связь между приращениями деформаций и перемещений в известном виде:

d{ε^e} = [срB]d{δ^e}. (5)

При больших перемещениях компоненты деформаций нелинейно зависят от перемещений {δ^e} на основе соотношений (3), поэтому матрицу [срB] удобно представить в виде:

[срB] = [B] + [B_L({δ^e})], (6)

где [B] – линейная матрица;

[B_L({δ^e})] – нелинейная матрица дифференцирования.

При малых перемещениях справедливо обычное соотношение теории упругости для элемента:

{σ^e} = [срD]{ε^e}, (7)

где [срD] – матрица упругих постоянных, определяемая соотношениями (2).

Варьируя уравнение равновесия (4) по перемещениям d{δ^e}, получено:

d{ψ^е} = ∫d[срB_L]^Т{σ^e}dV + ∫[срB_L]^Т d{σ^e}dV = 0. (8)

^{V V}

Вариация полной матрицы дифференцирования на основании (6) принимает вид:

d[срB_L]^Т = d([B]^Т + [B_L({δ^e})]^Т) = d[B_L]^Т .

Тогда выражение (8) приводится к виду:

d{ψ^е} = ∫d[B_L]^Т{σ^e}dV + ∫[срК]^Т d{δ^e}} = 0, (9)

^{V V}

где [срК] = ∫d[срB]^Т[срD][срB]dV =[К] + [К_L]. (10)

^V

Здесь [К] и [К_L], соответственно, матрицы жесткости элемента рот малых и больших перемещениях, определяемые соотношениями:

[К] = ∫[B_L]^Т[срD][B]dV, (11)

^V

[К_L] = ∫[B]^Т[срD][B_L]dV + ∫[B_L]^Т[срD][B_L]dV + ∫[B_L]^Т[срD][B]dV . (12)

^{V V V}

Матрица [К_L] известна как матрица больших перемещений элемента. Ее можно построить, считая деформации малыми, а перемещения – большими.

Первое слагаемое в выражении (9) представим в виде:

∫[B_L]^Т{σ^e}dV = [К_σ]{δ^e}, (13)

^V

где [К_σ] - симметричная матрица, зависящая от величины напряжения в элементе.

Эта матрица известна как матрица начальных напряжений элемента или геометрическая матрица элемента.

Выражение (9) с учетом (13) записывается в виде:

d{ψ^е} = [К_Т] d{δ^e}, (14)

где [К_Т] = [К] + [К_L] + [К_σ] - полная матрица касательных жесткостей элемента.

В случае малых перемещений матрицы [К_σ] и [К_L] равны нулю, следовательно [К_Т] = [К].

Матрица жесткости системы [К_Т^с] получается путем суммирования:

_m

[К_Т^с] = ∑[К_Т]_i , (15)

^{i =1}

где m - общее количество элементов.

Основное матричное разрешающее уравнение системы нелинейного конечно-элементного анализа на основе (14) принимает вид:

d{ψ}^с = [К_Т^с ({δ}^с)] d{δ}^с, (16)

где {δ}^с и {ψ}^с - векторы перемещений и неуравновешенной невязки сил системы.

Система нелинейных алгебраических уравнений (16) приближенно решается известным итерационным методом Ньютона-Рафсона.

В [10 с. 18] на основе физической и математической дискретизации обоснована и предложена механико-математическая расчетная модель слоисто-неоднородного грунтового массива, адекватно отражающая специфику его реального деформирования при одновременном учете физической и геометрической нелинейности, на основе вариационной формулировки нелинейно-элементного анализа. Получены основные соотношения геометрически нелинейных матриц расчетных элементов; построена эффективная схема численного интегрирования линейных и нелинейных матриц конечных элементов высоких порядков с использованием квадратур Гаусса-Лежандра; созданы комплексы автоматизированных пакетов прикладных программ на языке Фортран для комплексного исследования статически упругого и упругопластического состояния и свободных колебаний системы «нижнее строение – основание» при малых и больших перемещениях, без учета температурного фактора. Разработан эффективный вычислительный алгоритм для решения статически упругих и упругопластических задач применительно к системе «нижнее строение – основание», основанной на уравнениях обобщенного закона Гука для анизотропного грунтового массива и теории течения при условии текучести Мизеса, с учетом геометрической нелинейности, но без учета температурного фактора и предложена эффективная схема, ускоряющая сходимость итерационного процесса при формировании вектора невязки для пластически деформируемых элементов.

На основе метода итерации в подпространстве разработан эффективный алгоритм с использованием матрицы жесткости системы «нижнее строение – основание» при больших перемещениях, позволяющий с высокой точностью определить амплитудно-частотные характеристики свободных колебаний системы «нижнее строение – основание» и обеспечивающий быструю сходимость итерационного процесса. Идея метода основана на схеме алгоритма Якоби и свойствах последовательностей Штурма. Изучено с достаточной полнотой статическое напряженное состояние системы «нижнее строение – основание» в условиях малых и больших перемещений, но без учета температурного фактора, причем анализ полученных результатов позволил сформулировать вывод о том, что в примыкающем к нагрузке верхнем слое нижнего строения наблюдаются концентрация напряжений и деформирование основной площадки. Кроме того, резкое отличие в упругих характеристиках грунта основания и вышележащего грунтового слоя также приводит к концентрации напряжений, поэтому необходимо усиление верхней части нижнего строения, например, геоматериалами. Выполнена сопоставительная оценка полученных результатов при малых и больших перемещениях, без учета температурного фактора, причем существенное влияние на статическое напряженное состояние системы «нижнее строение – основание» оказывают структурная неоднородность и анизотропность грунтового массива основания, геометрическая нелинейность, и последнее качественно меняет картину закона распределения напряжений и перемещений.

В [10 с. 19] приведены материалы исследования: упругопластического состояния системы «нижнее строение – основание» в зависимости от упругих характеристик и анизотропии грунта основания, но без учета температурного фактора. Проанализировано влияние упругих характеристик основания на размеры и формы зон пластичности, причем слабое основание значительно увеличивает размеры зон пластичности по сравнению с жестким и анизотропным основанием, при этом формы зон неупругих остаточных деформаций остаются без изменения. Геометрическая нелинейность качественно меняет картину закона распределения упругопластических напряжений и перемещений в теле нижнего строения, а также увеличивает размеры зон пластичности, при этом оставляя их формы без изменения; свободного колебания системы «нижнее строение – основание» и выявлено, что геометрическая нелинейность значительно увеличивает величины частотных характеристик и почти не влияет на формы свободных колебаний, причем неоднородность и анизотропия грунта основания существенно влияют на формы свободных колебаний, и при слабом основании сильно деформируется свободная поверхность нижнего строения (насыпи) по сравнению с жестким и анизотропным основанием.

ЛИТЕРАТУРА

1. Шахунянц Г.М. Железнодорожный путь. Учебник для вузов ж.-д. трансп. –3 изд. перераб. и доп. - М.: Транспорт, 1987. - 479 с.

2. Омаров А.Д. Земляное полотно железных дорог Казахстана. - Алматы.: Бастау. 2000. - 208 с.

3. Методика оценки воздействия подвижного состава на путь по условиям обеспечения его надежности/ЦПТ 52/14. - М.: ПКТБ ЦП МПС, 2000. - 40 с.

4. Методика расчета напряженно-деформированного состояния железобетонной шпалы численным методом (методом конечных элементов (МКЭ)) (утвержден ЦП «РЖД» 2004). – М.: РЖД, 2004. - 36 с.

5. Омаров А.Ж., Узбеков А.К., Садыков Р.А. Расчет устойчивости и прочности земляного полотна с применением численных методов. - Алматы.: Гылым. 1996. - 124 с.

6. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. -М.: 1979. - 392 с.

7. Кудрявцев И.А. Расчет элементов верхнего строения пути методом конечных элементов. Учебно-методическое пособие по курсовому и дипломному проектированию для студентов строительных специальностей транспортных вузов. Часть 1. - Гомель.: БелИИЖТ, 1982. - 32 с.

8. Инструкция к программе расчета комбинированных систем МКЭ. (Программный комплекс. «Спринт). Фонд алгоритмов в отраслевом строительстве. Вып. 12. - М.: ЦНИИпроект. - 120 с.

9. Золотарев Г.С. Опыт оценки устойчивости склонов сложного геологического строения методом конечных элементов. - М.: Изд-во МГУ, 1973. - 272 с.

10. Мухамбеталина Д.Ж. Влияние физической и геометрической нелинейностей на напряженное состояние земляного полотна железнодорожного пути: автореф. …канд. техн. наук:. 05.22.06. – Алматы.: КУПС, 2006. – 25 с.