Бондаренко Л. М., Матвієць Т. В., Бондаренко В. Д., Матвієць І. В.

 

ОСОБЛИВОСТІ РІШЕННЯ ЗАДАЧ НА РІВНОВАГУ ТВЕРДИХ ТІЛ З КОЛОДКОВИМИ ГАЛЬМАМИ

 

Придніпровська державна академія будівництва та архітектури

 

Розглянемо відому [1] задачу на рівновагу твердих тіл з урахуванням тертя ковзання.

Барабан лебідки (рис. 1) радіусом  мм і силою тяжіння  кн. гальмується колодковим гальмом. Необхідно визначити мінімальне значення прикладеної до гальма сили  для того, щоб барабан знаходився в стані спокою.

Рис. 1. До розрахунку стану спокою барабана.

На барабан навито канат, до кінця якого підвішено вантаж  кН., причому канат сходить дотично з барабана  під кутом  до горизонту. Коефіцієнт тертя ; висота гальмових колодок  мм. Геометричні розміри  мм;  мм.

Визначити силу , а також реакції в опорах  й .

Основний матеріал досліджень.

В рівновазі знаходиться система твердих тіл, що складається з барабана , важелів ,  і невагомого стержня . На рис. 2, г – є показано активні сили та реакції в'язей, які діють на кожне з названих тіл.

Рис. 2. Активні сили і реакції в'язей.

Аналітичні умови рівноваги системи розглядуваних твердих тіл мають вигляд:

для барабана  (рис. 2г)

;

; ;                                           (1)

           ; ;

для важеля  (рис. 2д)

                                                  ;

; ;                                                                   (2)

                                                  ; ;

для важеля  (рис. 2е)

                                                  ; ;

; ;                                                          (3)

                                                  ; ;

для стержня  (рис. 2є)

                                                  ; ;

                        ; ;                                                                           (4)

                                                  ; ;

Звичайно, як в довідковій [2], так і учбовій літературі приймається, що

, а .                                                        (5)

Неважко догадатись, що ці формулі наведені саме в порушення закону тертя ковзання.

Для доказу як цього, так і дійсних величин  і  розглянемо, наприклад, верхню колодку

Рис. 3. До визначення загальної нормальної сили дії колодки до шківа.

Лінійне навантаження, яке припадає від сили  на хорду кута  обхвату колодкою шківа  [2]

                                                                           (6)

Елементарна сила, яка діє на довжину елементарної дуги

                                                                 (7)

Нормальна елементарна сила, що діє на цій дузі

 

                                                                 (8)

Загальна нормальна сила на дузі обхвату колодкою шківа

                                            (9)

Сила тертя між колодкою і шківом

                                                                      (10)

Неважко переконатись, що ця формула приймає вигляд  тільки при малому куті .

Після рішення рівнянь (1) – (9), з врахуванням зміни , отримуємо залежності мінімальної сили  необхідної для притиснення колодок, щоб барабан знаходився в спокої, та реакції , , ,  в опорах від кута обхвату колодкою шківа (показані на рис. 4а та рис. 4б).

Рис. 4. Залежності від кута обхвату колодкою шківа: 1 – сили на кінці важеля, яка необхідна для утримання барабана в стані спокою. 2, 3, 4, 5 – реакції , ,  та  відповідно; 6 – процентні розходження , ,  з величинами, отриманими в [1], 7 – те ж для .

Аналіз отриманих формул та графіків на рис. 4 дозволяє зробити такі висновки:

 

Література

  1. Яскілка М. Б. Збірник задач для розрахунково – графічних робіт з теоретичної механіки. – Київ: Вища школа: Веселка, 1999. – 351 с.
  2. Бондаренко Л. М. Розподіл сил тертя по висоті гальмівної колодки і причина нерівномірного зносу накладок. Гірничі, будівельні, дорожні та меліоративні машини. – Київ: КМУБА. - №63. – 2004. – с. 14 – 18.