Технические науки/2. Механика

Буторева В.С., Подрез Т.А., Русецкая И.В., к.т.н. Гурвич Ю.А.

ГУО «Институт пограничной службы Республики Беларусь»

Расчет количества вычислительных процедур методом сеток при различном уровне варьирования каждого параметра из многомерного пространства параметров

Задачи многокритериального выбора оптимальных значений параметров транспортных средств во всем скоростном диапазоне движения являются сложными научно-техническими задачами. Одним из условий успешного решения этих задач ‒ использование метода оптимизации, обеспечивающего минимальное количество вычислительных процедур и, как правило, минимальное время счета (обозначим этот метод оптимизации ‒ «М*»).

В качестве исходного материала для поиска «М*» используем:

во-первых, простейший метод оптимизации ‒ метод сеток или метод перебора значений всех параметров в узлах сетки. Аналогом метода сеток может служить лист бумаги в клетку (с параметрами X и Y), на пересечении горизонтальных – X и вертикальных − Y линий, которого расположены узлы сетки. При одинаковом числе разбиений параметров число узлов равно X²=Y². Если добавить третий параметр Z, то число узлов ‒ X³=Y³=Z³. Такие вычисления можно выполнить для n-мерного пространства параметров при не одинаковом (и при одинаковом) числе разбиений каждого из параметров;

во-вторых, геометрические, жёсткостные, массовые, конструктивные и другие параметры в виде n-мерного пространства параметров, представляющие собой коэффициенты механико-математического описания движения транспортного средства, иначе – коэффициенты, стоящие перед слагаемыми каждого уравнения системы дифференциальных уравнений, описывающих динамику транспортного средства.

В данной работе: во-первых, реализованы алгоритмы расчетов количества узлов сетки, использующие методы комбинаторики и правило круговой подстановки при не одинаковом числе разбиений параметров; во-вторых, получен ответ на вопрос: «В чем же выигрывает проектировщик, если одновременно варьировать два, три или более значений параметров при неизменных величинах остальных параметров механико-математического описания движения транспортного средства, по сравнению с изменением только одного параметра при неизменном значении остальных параметров»?

Выбор метода оптимизации осуществим после сравнения результатов вычислений по формулам, определяющим:

‒ количество совокупностей (или число сочетаний) значений параметров для n-мерного пространства варьируемых параметров, когда число уровней варьирования каждой n-мерной координаты различно ‒ , ,…, λ (где i, j,…, N – текущие порядковые номера уровней варьирования по каждой n-мерной координате i= ; j= ;…; N= ;

‒ число зон устойчивости или неустойчивости движения управляемых колес машины при одновременном варьировании значений сначала одного параметра , затем двух при неизменных значениях остальных значений параметров в этой n-мерной совокупности параметров.

Расчет совокупностей параметров по формуле для плоскости n=2 и для пространства n=3 (рисунок 1) различных по физическому смыслу параметров и с разным числом уровней варьирования , , . Если i= ; j= ; k= , тогда , , . При этом количество совокупностей параметров на плоскости , и в пространстве , , равно: ;

Рисунок 1 ‒ Количество совокупностей параметров: а) на плоскости ,

б) в трехмерном пространстве , ,

В n-мерном пространстве параметров количество всех совокупностей, содержащих по n параметров каждая, определяется произведением числа уровня варьирования по каждой n-мерной координате

(1)

Примеры расчета совокупностей параметров по формуле при к₁= будем реализовывать для однокритериальной задачи, где критерием устойчивости движения машины и функцией совокупности параметров является скорость движения управляемых колес ‒ V=V( , ,…, ), которая представляет поверхность в n-мерном пространстве параметров.

Пример 1. Скорость V=V( ; ) ‒ функция двух параметров.

Чтобы построить эту поверхность в виде сетки необходимо:

во-первых, варьировать величину параметра , при неизменной какой-либо одной из величин , например =const. При этом получим ряд точек где i= через которые, используя методы аппроксимации, проведем плавную кривую, являющуюся элементом сетки. Зависимость = ( , ) представляет собой одну плоскую зону устойчивости. Всего нужно построить j= плавных кривых и плоских зон устойчивости вида = ( , );

во-вторых, варьируя величину где j= при уже неизменной величине где i= необходимо построить еще i= плавных кривых и плоских зон устойчивости вида = ( , ).

Полное количество плоских зон устойчивости движения и плавных кривых, отображающих сетку в двухмерном пространстве параметров, определяется зависимостью

(2)

В (2) первое слагаемое определяет количество плавных кривых параллельных оси j и равное второе слагаемое – наоборот: параллельных оси i и равное

Если одновременно варьировать величины двух параметров, то для изучения поверхности V( , ) необходимо построить всего одну двухмерную область устойчивости.

Пример 2. Скорость V = V( , ) ‒ функция трех параметров.

(1) определим по (3), используя правило круговой подстановки (рисунок 2), в скобках каждого слагаемого указывается тот недостающий параметр, величину которого варьируют:

(1) = * + * + * . (3)

Рисунок 2 ‒ Правило круговой подстановки в (3) работает только в положительном направлении

Число плоских зон устойчивости по (3) для рисунка 1,б равно:

(1)=4*2+2*3+3*4=26.

(2) определим по (4), в скобках каждого слагаемого указываются те недостающие параметры, величину которых варьируют:

(2)= + + (4)

Иначе, число зон устойчивости (2) равно сумме чисел уровней варьирования по каждой координате. Для рисунка 1,б число плоских зон устойчивости равно: (2)=4+2+3=9.

Если одновременно варьировать величины трех параметров, то для изучения поверхности V=V( , ) необходимо построить всего одну трехмерную область устойчивости.

Пример 3. Скорость V=V( , , ) ‒ функция четырех параметров.

(1) определим по (5), используя правило круговой подстановки (рисунок 3,а):

(1)= * * + * * + * * + * * . (5)

Рисунок 3 ‒ Правило круговой подстановки для четырёх параметров

(2) определим по (6), используя правило круговой подстановки (рисунок 3,б):

(2)= * + * + * + * + * + * (6)

равно сумме чисел уровней варьирования по каждой четырехмерной координате.

В случае одновременного варьирования значений четырех параметров для изучения поверхности V=V( , , ) необходимо построить всего одну четырехмерную область устойчивости.

Пример 4. Скорость V=V( , , , ) ‒ функция пяти параметров.

(1) определим по (7), используя правило круговой подстановки (рисунок 4)

Рисунок 4 ‒ Правило круговой подстановки для пяти параметров в (7) работает только в положительном направлении

(1)= * * * + * * * + * * * +

+ * * * + * * * . (7)

(2) определим по (8), используя правило круговой подстановки (рисунок 5):

(2)= * * + * * + * * + * * + * * +

+ * * + * * + * * + * * + * * (8)

РРисунок 5 – Правило ккруговой подстановки: а) ддля первых пяти слагаемых вв (8); б) для вторых пяти лслагаемых в (8)

(3) определим по (9), используя правило круговой подстановки (рисунок 6):

(3)= * + * + * + * + * +

+ * + * + * + * + * . (9)

Рисунок 6 – Правило круговой подстановки: а) для первых пяти слагаемых в (9); б) для вторых пяти слагаемых в (9)

равно сумме чисел уровней варьирования по каждой пятимерной координате.

В случае одновременного варьирования значений пяти параметров для изучения поверхности V=V( , , ) необходимо построить всего одну пятимерную область устойчивости.

Резюме. Минимальное количество вычислительных процедур и, соответственно, минимальное время счета можно получить при одновременном варьировании значениями n параметров из n-мерного пространства параметров при не одинаковом (или одинаковом) числе разбиений каждого из параметров. При этом необходимо строить всего лишь одну n-мерную картину устойчивости.

Этот результат позволяет из имеющегося большого количества методов нелинейного программирования выбрать такие методы «М*», которые обеспечивают варьирование значениями сразу всех параметров, например, − методы случайного поиска: метод Монте-Карло, метод ЛП последовательности.

С помощью метода Монте-Карло можно получить огромный выигрыш в уменьшении количества расчетов: используя метод сеток для 2, 3,…, n-мерного пространства параметров, каждый из которых делится, например, на 10 частей, нужно выполнить, соответственно, − 10², 10³,…, 10ⁿ вычислений; при применении метода Монте-Карло – всего десять (причем каждый из n параметров будет разделен на десять частей).