Экономические науки/

 Математические методы в экономике

 

К.э.н.  Литвин Ю.В.

ООО «НИИгазэкономика», Россия

 

Оценка времени параллельного выполнения работ проекта  с ограниченными ресурсами

 

 

Одним из методов ускорения выполнения проектов является обеспечение параллельного выполнения работ. Экономия времени при этом, как правило, сопровождается также сокращением затрат.  В настоящем докладе рассматривается метод порядковых статистик расчета характеристик параллельно выполняемого комплекса работ проекта с ограниченным объемом выделенных ресурсов.

Рассматривается комплекс из L работ, который должен быть выполнен полностью, прежде чем смогут выполняться другие работы проекта. Причем, все работы комплекса упорядочены и выбираются для выполнения последовательно. Для  выполнения  комплекса выделено N ресурсов  ( , выполняющих работы параллельно. Задача состоит в поиске вероятностного  распределения  и среднего  времени выполнения всех работ комплекса ограниченным объемом ресурсов, если каждая  работа выполняется экспоненциальное  распределение  плотностью  (ПР) , = .  При этом предполагается, что  выполняемые работы взаимно независимы.

Время выполнения комплекса работ Т делится на L-N+1 периоды случайной длительности. Первые  L-N периодов определяются порядковыми статистиками одновременного выполнения N работ [1]. Работа, завершившая свое выполнение на одном из периодов,  освобождает ресурс и его занимает следующая работа из очереди ожидающих бот.  На следующем периоде снова одновременно будет выполняться N работ:  N-1 незавершенная  работа  предыдущего периода и одна вновь поступившая работа. Аналогичным образом формируется следующий период и так продолжается L – N раз. Время последнего  L – N+1 периода определяется через длительность параллельного выполнения N оставшихся работ.     

Обозначим через  случайное время выполнения работы , а через  - порядковую статистику того, что   завершение  одной из работ будет осуществлено в момент   (   Отметим, что указанная последовательность в каждом периоде своя в связи с изменением состава выполняемых работ.

Распределение времени выполнения комплекса работ проекта будем искать путем последовательной реализации  трех шагов:

1)определение   распределений длительностей первых L-N  периодов  времени;

2)определение распределения времени выполнения оставшихся N   работ  (период L-N+1);

3)свертка полученных распределений и определение конечного  результата – распределения времени выполнения комплекса работ.

Предлагаемую методику  продемонстрируем в виде последовательности шагов для случая, когда  комплекс состоит из трех работ, и  двух  ресурсов при экспоненциальных предположениях об исходном  времени  выполнения работ [2].

1.Плотность распределения времени завершения выполнения первой по прядку работы определяется   следующим образом

,

где индекс  у указывает на номер соответствующей работы.

Преобразование Лапласа ПР  w1(t) имеет следующий вид

     (1)

Среднее значение первого интервала  получим стандартным образом из (1)  

=

2. Вероятность того, что из двух работ первой завершится  работа , =1, 2  равна

3. Преобразование Лапласа   плотности распределения времени второго периода имеет следующий вид

.    (2)

Среднее значение второго интервала

.

4.Аналогично для третьего периода будем иметь

. (3)

Среднее значение третьего интервала

.

5. Преобразование Лапласа  плотности распределения времени выполнения  всего комплекса работ  будет определяться  из (1-3) в виде произведения

     

Приведем результаты расчетов и имитационного моделирования среднего времени выполнения комплекса работ для различных параметров исходных законов распределения. Единица измерения времени принята равной одному часу.

Таблица 1

Параметры распределений выполняемых работ

Среднее время выполнения комплекса

Относительное отклонение

Расчет

Имитация

%

0,02

0,03

0,05

71,99

69,75

3,9%

0,2

0,3

0,5

7,2

6,97

3,3%

1

1

1

2

2

0%

3

2

1

1,37

1,33

2,7%

5

3

2

0,76

0,73

3,9%

 

 Как видно из выполненных расчетов использование аналитических зависимостей порядковых статистик для случая параллельного выполнения совокупности работ при ограниченных ресурсах  обеспечивает вполне удовлетворительную точность и простоту оценок. 

 

 

Литература:

1.Balakrishnan N. Permanents, order statistics, outliers, and robustness/ N. Balakrishnan // Rev. Mat. Comput. -  V.20, №. 1. – 2007. – P. 7–107.

2.Литвин Ю.В. Интеграция сетевых моделей  проектов и оценка их рисков. //Проблемы экономики и менеджмента. – 2013. - № 8 (24). – С.46 – 58.