Математика/ 1. Диференціальні і інтегральні рівняння

К.ф.-м.н. А.І. Казмерчук

Прикарпатський національний університет імені В.Стефаника

Властивості гіперболічних систем квазілінійних рівнянь першого порядку, залежних від параметра

Стаття присвячена дослідженню в нелокальній теорії гіперболічних систем квазілінійних рівнянь першого порядку. Нехай задано систему квазілінійних рівнянь першого порядку, залежних від параметра

(1)

Умови гіперболічності та сильної нелінійності є основними при формулюванні результатів розв’язності задачі Коші для системи (1) з початковою умовою

(2)

Нехай .

Означення Обмежена вимірна вектор-функція називається узагальненим розв’язком задачі (1), (2), якщо для будь-якої вектор-функції

і виконується інтегральна тотожність

,

ентропійна умова на характеристиках ([1]), та умова (2) приймається у слабкому сенсі.

Припустимо, що в області при для функцій та їх похідних виконуються оцінки

,

при ,

а для дійсних власних значень і відповідних правих власних векторів матриці виконуються наступні оцінки умов гіперболічності та сильної нелінійності системи (1)

,

.

Теорема 1 Нехай при система (1) гіперболічна в області . Тоді існує таке, що при система (1) гіперболічна в області . При цьому .

Теорема 2 Нехай при система (1) сильно нелінійна в області . Тоді існує таке, що при система (1) сильно нелінійна в області . При цьому .

Теорема 3 Нехай при система (1) гіперболічна, сильно нелінійна та виконується ентропійна умова на характеристиках в області . Тоді існує таке, що при система (1) гіперболічна, сильно нелінійна та виконується ентропійна умова на характеристиках в області . При цьому .

Зауважимо, що для систем (1) із досить широких класів встановлюється конкретний вид функцій .

Література:

1. Lax P.D. Hyperbolic system of conservation laws.-Comm. Pure Appl.Math.-1957.-V.10.-p.537-566.