Математика/5. Математическое моделирование

Махамбетова Г.И.

Костанайский гос.университет им.А.Байтурсынов, Казахстан

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ИТЕРАЦИОННОЙ СХЕМЫ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТА ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

В работе изучается одномерная задача распространения тепла в грунте. Пусть в области Q=(0,Н)х(0,Т) происходит распространение тепла под действием температуры окружающей среды, в нашем случае это – воздух. Многочисленными экспериментами доказано, что распространение тепла в грунте можно описать уравнением теплопроводности /1-5/

, (1)

На границе поверхности земли с воздухом справедлив закон сохранения энергии , (2)

Установлено, что на определенной глубине земли, температура земли остается постоянной величиной. (3)

Отметим, что ось oz направленно вертикально вверх. В начальный момент времени, при t=0 распространении температуры в грунте задается, т.е.

(4)

Рассмотрим случай, когда от z=0 до z=Н грунт состоит из трех слоев. При переходе от одного слоя к другому слою температура, и поток температуры остается непрерывными: , k=1,2. (5)

где -координата границы перехода от одного слоя к другому слою.

Для того, чтобы определить коэффициент теплопроводности грунта дополнительно задается значение температуры на поверхности земли

, . (6)

Требуется определить коэффициент теплопроводности многослойного грунта. Для решения поставленной задачи, из системы (1)-(6) получена сопряженная задача , (7)

, , , (8)

, . (9)

и интегральное равенство: . (10)

Итерационный процесс. Задается начальное значение . Следующее приближение определяется по формуле . (11)

Лемма 1. Если , , то для решения задачи (1)-(5) имеет место оценка ,

где .

Лемма 2. Если , , то для решения задачи (1)-(5) имеет место оценка .

Здесь .

В каждом однородном слое многослойного грунта =const. Поэтому, интегрируя (11) по z от 0 до , получим .

Эта формула справедлива для нижнего слоя грунта. Аналогично для второго и третьего слоя, получим формулы ., . Обозначим через , т.е. , . Тогда все три формулы записываются так (12). Суммируем (12) по n от 0 до произвольного n, т.е. .

Оценивается данное равенство с использованием неравенства Коши

.

Еще раз применяем неравенство Коши по переменной t. Тогда

(13)

Из леммы 1 следует отсюда в частности .

Аналогично из леммы 2 следует неравенство .

С учетом этих неравенств соотношение (13) приводится к следующему виду , . Пусть , . Тогда . Но ряд сходится, поэтому , тогда , . Отсюда , k=0,1,2. Малую величину подбираем так, чтобы имело место неравенство . Тогда , .

Доказана: Теорема. Если то существует достаточно малое число такое, что из (11) следует неравенство

.