Ткаченко
Д.А., Ивахненко Н.Н.
Донецкий институт железнодорожного
транспорта
Использование
производной в физике
При изучении тех или
иных процессов и явлений часто возникает задача определения скорости этих
процессов. Её решение приводит к понятию производной, являющемуся основным
понятием дифференциального исчисления.
Метод дифференциального
исчисления был создан в XVII и XVIII вв.
С возникновением этого метода связаны имена двух великих математиков –
И. Ньютона и Г.В. Лейбница.
Ньютон пришёл к открытию
дифференциального исчисления при решении задач о скорости движения материальной
точки в данный момент времени (мгновенной скорости).
В
физике производная применяется в
основном для вычисления наибольших или наименьших значений каких-либо
величин. Рассмотрим на примерах
применение производной:
Задача 1:Потенциальная энергия U
поля частицы, в котором находится другая, точно такая же частица имеет вид: U
= a/r2 – b/r,
где a и b — положительные
постоянные, r — расстояние между частицами. Найти: а)
значение r0 соответствующее равновесному положению частицы;
б) выяснить устойчиво ли это положение; в) Fmax значение силы
притяжения; г) изобразить примерные графики зависимости U(r) и F(r).
Решение: Для определения r0 соответствующего
равновесному
положению частицы исследуем f
= U(r) на экстремум.
Используя связь между потенциальной энергией поля
U
и F, тогда F = -dU/dr,
получим F = -dU/dr
= - (-2a/r3+b/r2) = 0;
при
этом
r = r0; 2a/r3 = b/r2 =>
r0 = 2a/b;
Устойчивое
или неустойчивое равновесие определим по знаку второй производной:
d2U/dr02= dF/dr0=-6a/r04
+ 2b/r03 = -6a/(2a/b)4+2b/(2a/b)3=(-b4/8a3)<0;
равновесие
устойчивое.
Для определения Fmax притяжения исследую на экстремумы функцию:
F = 2a/r3— b/r2;
dF/dr = -6a/r4 + 2b/ r3 = 0;
при
r = r1 = 3a/b;
подставляя, получу
Fmax = 2a/r31 — b/r31
= - b3/27a2;
U(r) = 0; при r =
a/b; U(r)min
при
r = 2, a/b = r0;
F = 0; F(r)max при r = r1 = 3a/b;
Ответ: F(r)max при r = r1 = 3a/b;
Задача 2: . Цепь с внешним сопротивлением
R = 0,9 Ом питается от батареи из k=36 одинаковых источников,
каждый из которых имеет ЭДС E=2 В и внутреннее
сопротивление r0 = 0,4 Ом. Батарея включает n
групп, соединенных параллельно, а в каждой из них содержится m
последовательно соединенных аккумуляторов. При каких значениях m,
n будет получена максимальная J во внешнем R.
Решение:
При
последовательном соединении аккумуляторов Eгр = m*E;
rгр = r0*m;
а при
параллельном соединении одинаковых rбат = r0m/n;
Eбат = m*E,
По закону
Ома J = mE/(R+
r0m/n)
= mEn/(nR
+ r0m)
Т.к. k
– общее число аккумуляторов, то k = mn;
J = kE/(nR + r0m)
= kE/(nR + kr0/n);
Для
нахождения условия при котором J тока в цепи
максимальная исследую функцию J = J(n) на экстремум взяв
производную по n и приравняв ее к нулю.
J’n-(kE(R—kr0/n2))/
(nR + kr0/n)2 = 0;
n2
= kr/R
n
= √kr/R = √3,6*0,4/0,9 = 4;
m
= k/n = 36/4 = 9;
при этом Jmax = kE/(nR
+ mr0) = 36*2/(4*0,9 + 9*0,4) = 10 А;
Ответ: n = 4, m
= 9.
Задача 3:
Платформа массой М начинает двигаться
вправо под действием постоянной силы F. Из неподвижного бункера на нее
высыпается песок. Скорость погрузки постоянна и равна m кг/с. Пренебрегая
трением, найти зависимость от времени ускорения а платформы в процессе
погрузки. Определить ускорение а1 платформы в случае, если
песок не насыпается на платформу, а из наполненной высыпается через отверстие в
ее дне с постоянной скоростью m кг/с.
Решение: Рассмотрим сначала случай, когда песок
насыпается на платформу
Движение системы
платформа-песок можно описать с помощью второго закона Ньютона:
dP/dt = FS
P – импульс системы
платформа-песок, FS – сила, действующая на
систему платформа-песок.
Если через p
обозначить импульс платформы, то можно написать:
dp/dt = F
Найдем
изменение импульса платформы за бесконечно малый промежуток времени Dt: Dp
= (M+m(t+Dt))(u+Du)
– (M+mt)u
=FDt;
где u
– скорость платформы.
Раскрыв
скобки и, проведя сокращения получаем:
Dp = muDt
+ MDu+mDut+ mDuDt
=FDt
Разделим на Dt и перейдем к пределу Dt ®0
Mdu/dt+mtdu/dt+mu=F или d[(M+mt)u]/dt = F
Это
уравнение можно проинтегрировать, считая начальную скорость платформы равной
нулю: (M+mt)u
= Ft.
Следовательно: u = Ft/(M+mt)
Тогда,
ускорение платформы: a
= du/dt = (F(M+mt)-Ftm)/(M+mt)2
= FM / (M+mt)2
Рассмотрим
случай, когда песок высыпается из наполненной платформы.
Изменение
импульса за малый промежуток времени:
Dp = (M-m(t+Dt))(u+Du) +mDtu – (M-mt)u
= FDt
Слагаемое mDtu есть импульс количества
песка, которое высыпалось из платформы за время Dt. Тогда:
Dp
= MDu
- mtDu - mDtDu = FDt
Разделим на Dt и перейдем к пределу Dt ®0
(M-mt)du/dt = F
Или
a1=du/dt= F/(M-mt)
Ответ: a = FM / (M+mt)2 , a1= F/(M-mt)
Таким
образом, применение производной довольно широко, и его
можно полностью охватить в работе такого типа, однако я попытался раскрыть
основные базовые моменты. В наше время, в связь с научно-техническим
прогрессом, в частности с быстрой эволюцией вычислительных систем,
дифференциальное исчисление становиться всё более актуальными в решении как
простых, так и сверхсложных задач.
Литература:
1.
Амелькин
В.В., Садовский А.П. Математические модели и дифференциальные
уравнения.- Минск: Вышэйшая школа, 1982.-272с.
2.
Амелькин
В.В. Дифференциальные уравнения в приложениях. М.: Наука. Главная редакция
физико-математической литературы, 1987.-160с.
3.
Еругин
Н.П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений.- Минск: Наука
и техника, 1979.- 744с.