Клочко О.В.,Квачова С.С.

Вінницький національний аграрний університет, Україна

Метод золотого перерізу пошуку екстремуму однієї змінної

Задачі пошуку екстремуму функції однієї змінної частково вивчають у курсі математичного аналізу. На перший погляд ці задачі видаються простими і добре вивченими. Однак методи диференціального числення мають обмежене застосування і не завжди зручні для реалізації на ПК.

Хоча в останні десятиліття з’явилися набагато зручніші методи для використання на ПК, які вимагають меншого об’єму чисельної роботи, але тим не більше цю область екстремальних задач не можна рахувати завершенною [3].

На сьогоднішній день розроблена і використовується достатня кількість чисельних методів оптимізації. Кількісний метод має певні особливості, переваги та недоліки застосування до певного класу екстремальних задач.

Опису та поясненню «золотого перерізу» присвячено величезну кількість праць різних авторів, але це явище не є простим та легкодоступним, особливо щодо його суті. Якщо порівнювати даний метод із іншими подібними із загальної кількості, то він є більш ефективний у порівнянні, адже має кращий коефіцієнт стиснення, забезпечує більш швидку збіжність до розв’язку, але при цьому вимагає значної кількості обчислень цільової функції [1].

Золотий переріз займає значне місце в сучасних дослідженнях кількісних співвідношеннях живої і неживої природи [2]. Необхідно відзначити також великий інтерес сучасної теоретичної фізики золотому перерізу. Іншими словами, в даний час неможливо уявити собі подальший розвиток наук про природу без Золотого перерізу. І є надія, що і математична освіта також не залишиться в стороні від нього.

Загалом метод золотого перерізу ґрунтується на діленні відрізка на нерівні частини за правилом золотого перерізу з метою визначення того, яким буде наступний відрізок, в якому локалізується екстремум унімодальної функції [1]. Даний метод можна визначити за правилом, а саме: відношення довжини відрізка до більшої його частини має дорівнювати відношенню більшої частини до меншої (рис.1).

с¹ с²

с

Рис. 1. Поділ відрізка за правилом золотого перерізу

Коефіцієнт поділу відрізка с за правилом золотого перерізу можна подати у вигляді:

с:с¹ = с¹:с²

Відповідно з даної пропорції маємо:

с¹´ = с*с², (1.1)

Враховуючи с = с¹ + с² та (1.1), отримаємо:

с*с² = (с¹ + с²) *с² = с¹*с² + с²´, (1.2)

Далі з (1.1) та (1.2) маємо

с¹*с² + с²´ - с¹´ = 0,

звідки с²´ + с¹*с² - с¹´ = 0, (1.3)

Поділивши ліву та праву частини рівняння (1.3) на с¹´, отримаємо:

(с²´: с¹´) + ( с²: с¹) – 1 = 0, (1.4)

Розв’язавши квадратне рівняння (1.4), отримаємо:

с²: с¹ = (-1±): 2.

Звідки визначаємо додатне значення коефіцієнту ділення відрізка на с:

с²:с¹ = (-1±): 2 = 0, 618.

Визначаємо точки, які поділяють відрізок за правилом золотого перерізу. Таких точок буде дві: х¹ та х² (рис. 1.2):

х¹ = a +(( 3-) 2) * (b-a)a+( 1- 0,618) * (b-a);

х² = a+b- х¹ = a+((-1+) 2) *(b-a) a+0,616* (b-a).

а х¹ b а х² b

Рис. 1.2. Поділ відрізка за правилом золотого перерізу

Відповідно можемо бачити, що особливістю методу золотого перерізу є необхідність наближеного обчислення , тому на кожній ітерації похибка накопичується [1]. Це може привести до значного зміщення точок. Звичайно метод золотого перерізу можна використовувати і при розгляді неунімодальних функцій, але в цьому випадку ми отримаємо ймовірність ризику того, що розв’язок, який не відповідатиме точці глобального мінімуму.

Висновки: Під час застосування того чи іншого методу із низки існуючих, в першу чергу розглядають на скільки точно та оптимально за допомогою нього ми зможемо розв’язати поставлену нам задачу і метод « золотого перерізу» являється тому не виняток, адже сам по собі являє доволі комплексний набір операцій, відповідно до яких можна вирішити зазначене завдання.

Література:

1. Вишневецький В.І., Грищук Г.П, Вишневецький В.В. Моделі «Золотого перетину» і логісти розвитку підприємств малого та середнього бізнесу. / Вісник №10. – МОНУ, НТУ, 2009.

2. Коляда М.Г. Індивідуальна траєкторія навчання майбутніх фахівців з інформаційної безпеки у концепції «золотої пропорції». / Економіка і держава. 2011.- №11.- С. 59-64.

3. Левковець П.Р., Вишневецький В.І. Методика дослідження логістичних математичних моделей системи розвитку організаційного типу / Збірник наукових праць // № 15. – К.- 2012. – С. 136-141.