Математика/1.Дифференциальные и интегральные уравнения

Д.ф.-м.н. Городецький В. В., к.ф.-м.н. Мартинюк О. В.

Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича,Україна

Властивості фундаментального розв’язку еволюційного рівняння із псевдо-Бесселевим оператором

Як відомо, багато різних операторів формально можна подати у вигляді , де , – певні інтегральні перетворення (Фур’є, Бесселя, Фур’є-Бесселя, Фур’є на півосі та ін.), визначені в тому чи іншому просторі. Значна кількість праць присвячена вивченню властивостей оператора , а також дослідженню еволюційних рівнянь з оператором у випадку, коли , де – перетворення Фур’є. Властивості оператора істотно залежать від символа цього оператора. До класу псевдодиференціальних рівнянь слід віднести еволюційні рівняння з псевдо-Бесселевим оператором , де є однорідним, негладким у точці символом. Для еволюційних рівнянь з псевдо-Бесселевими операторами з гладкими символами задача Коші вивчалася у роботах багатьох математиків, а для еволюційних рівнянь з псевдо-Бесселевими операторами [1] з однорідними, негладкими у фіксованій точці символами на даний час вона досліджена не достатньо. У даній роботі досліджуються властивості фундаментального розв’язку еволюційного рівняння з псевдо-Бесселевим оператором.

Нехай , : – неперервні, парні на функції, диференційовні, монотонно зростаючі й необмежені на , , причому функція опукла (донизу) на , тобто: а) : ; б) : ; в) : . Припускаємо, що: : , , , , , де та – фіксовані параметри [2].

Символом позначимо сукупність усіх неперервних, парних на функцій : , нескінченно диференційовних на , для яких

.

Нехай – фіксоване число з множини . На функціях з простору визначене перетворення Бесселя [3]:

де – нормована функція Бесселя; – парна на функція і .

Нехай . Введемо в структуру зліченно-нормованого простору за допомогою норм

де , , , – фіксований параметр. Збіжність у просторі – це збіжність за кожною нормою , .

Перетворення Бесселя неперервно відображає на простір .

У просторі оператор узагальненого зсуву аргументу є визначений і неперервний.

Символом позначатимемо простір усіх лінійних неперервних функціоналів над відповідним простором основних функцій зі слабкою збіжністю, а його елементи називатимемо узагальненими функціями.

Оскільки в просторі визначена операція узагальненого зсуву аргументу, то згортку узагальненої функції з основною функцією задамо формулою , , при цьому для довільної основної функції .

Нехай . Якщо , , і із співвідношення при за топологією простору випливає, що при за топологією простору , то функціонал називається згортувачем у просторі .

Перетворення Бесселя узагальненої функції визначимо за допомогою співвідношення , , . З властивостей лінійності і неперервності функціоналу та перетворення Бесселя випливає лінійність і неперервність функціоналу , заданого на просторі . Отже, .

Нехай : – неперервна, парна на функція, однорідна порядку , нескінченно диференційовна на , похідні якої задовольняють умову:

(1)

З (1) випливає, що функція є мультиплікатором у просторі .

Розглянемо оператор : , який визначимо за допомогою співвідношення , (тут – обернене перетворення Бесселя, яке неперервно відображає на ). Із властивостей перетворення Бесселя (прямого й оберненого) випливає, що – лінійний і неперервний псевдо-Бесселевий оператор.

Розглянемо еволюційне рівняння з оператором вигляду

(2)

де : – неперервна функція, інтегровна на . Під розв’язком рівняння (2) розумітимемо функцію , яка задовольняє це рівняння.

Фундаментальним розв’язком рівняння (2) є функція , , де .

Функція володіє наступними властивостями.

Лема 1. Функція , як функція , є елементом простору .

Лема 2. Для функції та її похідних справджуються оцінки

Лема 3. Функція , , як абстрактна функція параметра із значеннями в просторі , диференційовна за .

Лема 4. при у просторі (тут – дельта-функція Дірака).

Література:

1. Городецький В. В., Ленюк О. М. Еволюційні рівняння з псевдо-Бесселевими операторами // Доп. НАН України. – 2007. – №8. – С.11-15.

2. Мартинюк О. В., Городецький В. В. Задача Коші для сингулярних еволюційних рівнянь з необмеженими за часом коефіцієнтами // Доповіді НАН України. – Київ, №2, 2012. – С.19-24.

3. Левитан Б. И. Разложение по функциям Бесселя в ряды и интегралы Фурье // Успехи мат. наук. – 1951. – Т. 6, вып. 2. – С. 102-143.