Математика/5,Математическое моделирование

 

А.А. Бушуев, О.И. Борисов, В.С. Громов, Ю.В. Литвинов

  НИУ Информационных  Технологий, Механики и Оптики,                         Санкт-Петербург,  Россия,

ИССЛЕДОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ИЗОБРЕТАТЕЛЬСКОЙ ЗАДАЧИ

 

Рассматривается модель изобретательской задачи, решаемой по алгоритму решения изобретательских задач (АРИЗ) [1], в частности, модель технического противоречия (ТП) между инструментом и изделием. Модель представлена в виде канонической катастрофы типа «сборка» [2], которая задается потенциальной функцией

                     ,                           (1)

где  – состояние  инструмента,  - нежелательный эффект, который необходимо минимизировать,  ,  - управляющие параметры. Считается, что прототип изобретения имеет одно устойчивое состояние равновесия, которое является минимумом .  В этом случае   параметр  λ<0, и по абсолютной величине определяет   запас устойчивости  прототипа к изменениям. Чем меньше , тем больше наклон ветвей потенциальной функции, и тем сложнее изобретателю преодолеть психологический барьер в процессе мышления. Если λ>0, то он задает мощность конфликта или мощность ТП, а  имеет два минимума и максимум между ними. Минимумы определяют устойчивые состояния двух противоположных свойств ТП, а максимум – неустойчивое свойство прототипа. Параметр μ при λ>0 отвечает за решательную способность задачи, т.е. задает свойства некоторого неизвестного Х-элемента, который и разрешает ТП.  

Выясним, на что влияет параметр μ при λ<0, т.е.   в левой полуплоскости пространства μ= μ(λ) катастрофы типа «сборка». Эта область задает так называемое «бесконфликтное» решение задачи, уменьшение нежелательного эффекта  без перехода к ТП. Как показывает моделирование, варьирование параметра μ также приводит к минимизации . Однако минимум  в докритичной области катастрофы (λ<0) получается выше, чем в закритичной.

Для численной оценки  найдем  производную  из (1):

                                   .                                               (2)

Определим выражение, аналитически описывающее единственный вещественный корень  производной (2) при  и :

.                    (3)

Подставляя выражение (3) в уравнение (1), получим минимальное значение нежелательного эффекта:

(4)     Найдем производную минимума потенциальной функции от управляющего параметра :

.

В итоге получим, что  для любого  при условии , функция (4) является монотонно убывающей на промежутке . Фиксируя значение параметра , построим график зависимости минимума потенциальной функции от управляющего параметра  (см. рисунок).

 

G:\bushuev\минимум потенциальной функции.png

Рис.  График зависимости минимума потенциальной функции от управляющего параметра  

 

Видно, что  минимум нежелательного эффекта при конфликтном решении задачи значительно меньше, чем при «бесконфликтном» решении.

Можно сделать следующие выводы:

1.                                  «бесконфликтное» решение задачи моделирует интуитивный, ненаправленный поиск в отличие от решения по задачи по АРИЗу.

2.                                  увеличение мощности конфликта λ→∞ приводит решение к идеальному конечному результату.

 

Литература

1.            Альтшуллер Г.С. Найти идею. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1991.

2.            Бушуев А.Б. Математическое моделирование процессов технического творчества – СПб: СПбГУ ИТМО, 2010.– 181с.