Математика / 5. Математическое моделирование

к.ф.-м. н. Калжанов М.У.

Костанайский государственный университет

имени А.Байтурсынова

Определение объема имитационных экспериментов

Основное преимущество имитационной модели по отношению к аналитической заключается в том, что за счет детализации ее можно сделать близкой к моделируемому объекту. Хотя приближение связано с усложнением и большим временем разработки имитационной модели. В итоге могут возникать ситуации, когда время разработки имитационной модели бывает сравнимо со временем разработки непосредственно системы и, как следствие этого, снижается актуальность получаемых в результате проведения моделирования результатов. При разработке имитационных моделей необходимо и важно также создание базовых программных модулей, описывающих типовые ситуации, возникающие при имитационном моделировании. Процесс составления агрегатных моделей на основе имеющихся модулей ускоряет процесс имитационного моделирования исследуемой системы.

Объем моделирования определяется характером исследуемых величин (случайных событий, величин или процессов), требуемой точностью, конкретными условиями проведения моделирования.

Определим необходимое число экспериментов при оценке вероятности наступления события, оценкой которой является частота P^* = L / N , где L — количество успешных опытов в процессе моделирования, N — общее число испытаний. Частота P^* является случайной величиной, так как она будет принимать разные значения при повторении серии опытов N. Согласно предельной теореме теории вероятностей, случайная величина P^* распределена приблизительно по нормальному закону.

Определим дискретную случайную величину Z с законом распределения Р ( Z = 1) = Р* , р(Z = 0) = 1 — P^*.

Математическое ожидание и дисперсия величины Z равны

М = 1 • P^*+ (1 — P^*)•D = P^*,

D = P^*(1 — P^*)² + (1 — P^*)•(0 — P^*)² — P^*(1 — P^*).

Затем определим математическое ожидание и дисперсию случайной величины

, (1)

(2)

Найдем число испытаний, при котором значение Х отличается от вероятности P^* меньше, чем на заданную величину e с заданной достоверностью a.

Для нормированной величины Х

(3)

С учетом нормального закона распределения величины выражение (3) будет иметь вид

(4)

где β= (1-α) /2 — уровень значимости;

U_β — квантиль, соответствующий значению

Значения β и U_β табулированы. Например, при β = 0,61 , U_β = 1,28 , β = 0,025 , U_β = 1,96 и т.д.

Из (4) получим (5)

При моделировании величина Р^* обычно неизвестна. Поэтому вначале проводится моделирование объемом N = 50 - 100 выборок, по которому определяется P^* , а затем из (5) окончательно находится N.

В табл.1 приводится необходимое число реализации для получения оценки L / N с точностью ε и достоверностью a = 0,95 для
различных значений Р^*.

Таблица 1

Р*		ε
		0,05	0,02	0,01
0.2	0.8	250	1500	6200
0,3	0,7	330	2100	8400
0,4	0.6	380	2300	9400
0,5		390	2400	9800

Приведенные в табл. 1 значения требуемого объема имитационных экспериментов даже при самих простых оценках показывают необходимость проведения большого числа реализации на ЭВМ.

Для конкретных случаев моделирования необходимо проводить такую оценку и определять погрешность вычислений в зависимости от реализованного объема моделирования.

Литература:

1. Бусленко Н. П. Моделирование сложных систем. - М.: Наука, 1978.

2. Лукьянов В. С. Решение задач в машиностроении методами имитационного моделирования: Учеб. пособие, ВолгПИ. - Волгоград, 1989.