Математика/5. Математическое моделирование

Хорошев А.С., Батищев Д.В., Пузин В.С., Шевченко Е.В., Павленко А.В., Щучкин Д.А.

ФГБОУ ВПО ЮРГПУ(НПИ) им. М.И. Платова, Россия

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МАГНИТОСТАТИКИ С ПОМОЩЬЮ ПРОГРАММНОГО КОМПЛЕКСА GMSH&GETDP

          Рассмотрены особенности применения программного комплекса GMSH&GETDP для расчета трехмерных электромагнитных полей электротехнических устройств. Для моделирования электромагнитных полей исследователями традиционно применяются  проприетарные программные продукты:  ANSYS Maxwell [1], COMSOL MultiPhysics [2], SolidWorks [3] c инструментарием EMS [4] и другие, основным недостаткам которых является высокая стоимость. В настоящей работе рассмотрены возможности применения свободно распространяемого  программного комплекса GMSH&GETDP [5], адаптированного для расчета трехмерных электромагнитных полей электротехнических устройств.


Рисунок 1 - Структурно-функциональная схема взаимодействия GMSH и GetDP при решении численных задач

Структурная схема взаимодействия между программными пакетами внутри  рассматриваемого комплекса представлена на рисунке 1 и имеет модульный состав — модуля GMSH, выполняющего функции генератора сеток конечных элементов, пре- и постпроцессора и GetDP, выполняющего решение численной задачи посредством выбранного решателя. Открытый интерфейс программных пакетов позволяет применять сторонние пакеты других производителей, например: генераторы сетки конечных элементов - NetGen, GMSH, TetGen, TrueGrid и другие, а также решатели — GetDP, OOFEM, CCX (CalculiX) и  иные.  


Рисунок 2 - Оценка изменения качества конечных элементов в результате оптимизации сетки конечных элементов.

Генератор сетки конечных элементов GMSH позволяет использовать следующие алгоритмы генерации конечных элементов: Delanau, Frontal, MeshAdapt, Frontal Delanau, Frontal Hex, R-Tree, MMG3D. Большой перечень используемых алгоритмов позволяет создавать сетки конечных элементов высокого качества и минимального размера вне зависимости от сложности базовых геометрических моделей.  Кроме того, генератор поддерживает двухэтапную оптимизацию сетки по Netgen-алгоритму[6,41-52].

На рисунке 2 приведены графики распределения числа конечных элементов по их качеству в сетке конечных элементов, созданной с помощью алгоритма Frontal  генератора сетки конечных элементов GMSH 2.7.1. Количество тетраэдров и узлов сетки до оптимизации составляло 443494 и 111325 соответственно, а после применения NetGen-алгоритма оптимизации - 377370 и 101174, что соответствует снижению их количества на 15% и 9% соответственно. Оценка количества конечных элементов и узлов, а также оценка их качества  (в качестве критерия оценки качества конечных элементов выступает соотношение наиболее короткой и наиболее длинной сторон конечных элементов) производилась с помощью модуля статистики GMSH.

  Постпроцессор GMSH предназначен для визуализации  и математической обработки результатов решения численных задач, создания анимационных роликов для визуализации динамически изменяющихся картин, экспорта результатов расчета и математической обработки в графические и текстовые форматы файлов. Математическая обработка и преобразование результатов расчетов возможны благодаря использованию 50 плагинов [7].

Рисунок 3 - Зависимость потребления оперативной памяти от величины зазора при Out-Of-Core факторизации

GetDP — представляет собой среду для решения дискретных задач с открытым исходным кодом, базирующуюся на инструментариях для матричных вычислений  PETSc и SPARSKIT, что дает возможность использования решателей MUMPS, Hypre, UMFPACK. Применение библиотек инструментария PETSc в GetDP дает возможность использовать более 20 различных методов  решения СЛАУ в комбинации с 19-ю алгоритмами предобуславливания [8]. При использовании решателя MUMPS значительно увеличивается предельный размер решаемых численных задач  благодаря возможности выполнения Out-Of-Core факторизации (выполнение этапа факторизации сохранением данных вне оперативной памяти ЭВМ). Поддерживается решение численных задач в неограниченное число потоков на многоядерных, многопроцессорных и распределенных вычислительных системах.

Стоит отметить, что расчет трехмерных электромагнитных полей электромагнитных устройств может  характеризоваться размерностью задачи в несколько миллионов и даже десятков миллионов конечных элементов. Решение подобных задач сопряжено с трудностями, вызванными сложностью решения матрицы такого размера. Методом, обеспечивающим наилучшее качество решения подобных матриц является LU-факторизация. Однако ее использование требует значительное количество вычислительных ресурсов ЭВМ.

Рисунок 4 - Зависимость количества элементов сетки от величины рабочего зазора

Так, например для решения численной задачи на основе сетки конечных элементов (101 тысяча узлов, 407 тысяч тетраэдров), созданной по трехмерной модели электромагнита с рабочим зазором 2мм требуется 1220 МБ оперативной памяти при использовании программного пакета GetDP 2.7.1 с решателем MUMPS из инструментария PETSc 3.2 (размер используемой памяти получен через диагностические сообщения  MUMPS и не учитывает память, используемую процессами GetDP и PETSc). Уменьшение величины воздушного зазора в два раза, до 1 мм, приводит к увеличению памяти в три раза — до 3660 МБ при условии сохранения качественных характеристик конечных элементов в зазоре путем соответствующего изменения характеристической длины опорных точек.

          При выполнении Out-Of-Core факторизации потребление оперативной памяти многократно снижается и, например, при величине рабочего зазора электромагнита в 1 мм потребление памяти составит  лишь 501 МБ (рисунок 3), что в 7 раз меньше, чем при выполнении In-Core факторизации.

  Помимо увеличения потребления оперативной памяти  при увеличении количества конечных элементов ухудшается сходимость численной задачи, особенно при расчете магнитного поля электромагнита с насыщенной магнитной системой. Так, при уменьшении величины характеристической длины  с 8 до 2 мм для опорных точек поверхностей, образующих рабочий зазор электромагнита при величине этого зазора равной 2 мм, приводит к увеличению количества конечных элементов на 22 % (рисунок 4) и увеличению количества итераций на 20 %. Уменьшение характеристической длины с 2 мм до 1 мм приводит к увеличению количества конечных элементов еще на  51 % и количества итераций на 13%. В то же время уменьшение характеристической длины опорных точек поверхностей, образующих рабочий зазор электромагнита позволяет получить более качественную сетку в области рабочего зазора электромагнита, что позволит произвести более точный расчет интегральных характеристик электромагнита.

Рассматриваемое программное обеспечение GMSH&GetDP обладает возможностью гибкой конфигурации поставленной задачи исследования и обеспечивает возможность выбора ее эффективного решателя.  Проведена оценка адекватности результатов расчетов путем сравнения с данными, полученными при решении модельных задач аналитическими методами.

Статья подготовлена по результатам работы, полученным в рамках исполнения проекта СП-201.2012.2 на тему «Разработка научно-технических решений по созданию системы контроля состояния стальных канатов полярных кранов АЭС» по стипендии Президента Российской Федерации молодым ученым и аспирантам, осуществляющим перспективные научные исследования разработки по приоритетным направлениям российской экономики, проекта № 7.1604.2011 «Теория создания и исследование ресурсо- и энергосберегающих электромеханических устройств, систем и комплексов», выполняемого в рамках гос. задания на 2013г и на плановый период 2014 и 2015 годы и по результатам, полученным в ходе выполнения гранта №14.В37.21.1500 от 05.10.2012 г. "Гибридные энергосберегающие системы распределения энергии" в рамках федеральной целевой программы "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России" на 2009 - 2013 годы.

 

Литература:

 

1.                     Официальный сайт компании «ANSYS». ANSYS Maxwell [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://www.ansys.com/Products/Simulation+Technology/Electromagnetics/Electromechanical+&+Power+Electronics+&+Mechatronics/ANSYS+Maxwell, свободный.

2.                     Официальный сайт компании «COMSOL». COMSOL Multiphysics [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://www.comsol.com/products/multiphysics/, свободный.

3.                     Официальный сайт компании «Dassault Systèmes SolidWorks Corp.». SolidWorks 3D CAD Packages [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://www.solidworks.com/sw/products/3d-cad/packages.htm, свободный.

4.                      Официальный сайт компании «Dassault Systèmes SolidWorks Corp.». ElectroMagneticWorks: EMS [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://www.solidworks.com/sw/products/details.htmpartnerID=1283&productID=2505#, свободный.

5.                  Официальный сайт института «Montefiore Institute». Prof. Christophe Geuzaine [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://www.montefiore.ulg.ac.be/~geuzaine/, свободный.

6.                   J. Schoeberl. Netgen, an advancing front 2d/3d-mesh generator based on abstract rules / Comput. Visual. Sci.,  - 1997. №1. - c. 41–52.

7.                    Раздел документации программы «GMSH». 8.2 Post-processing plugins [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://geuz.org/gmsh/doc/texinfo/gmsh.html#Post_002dprocessing-plugins, свободный.

8.                     Официальный сайт лаборатории «Argonne National Laboratory». Summary of Sparse Linear Solvers Available from PETSc [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://www.mcs.anl.gov/petsc/documentation/linearsolvertable.html, свободный.