К.т.н. ЗакироваН.М., к.п.н. Владыкина И.В., Бузикова Т.А.

Глазовский государственный педагогический институт, Россия

Подготовка студентов первого курса бакалавриата к коллоквиуму по теме «Предел функции»

Понятие предела функции в точке является одним из самых трудных понятий для студента-первокурсника, хотя считается, что в школе учащиеся знакомятся с определениями предела, непрерывности и производной функции. Как правило, в учебниках алгебры и начал анализа (10-11классы) для общеобразовательных школ определение даётся на интуитивном уровне в теме «Производная». Например, в учебнике [4] даётся запись «», указывается, как она читается, и приводится её содержательный смысл: «если значения аргумента выбираются все ближе и ближе к значению , то значения функции все меньше и меньше отличаются от предельного значения b». На рисунках в учебнике подчёркивается особенность поведения функции в точке . Непрерывность функции в точке определяется через равенство . Далее приводится новое истолкование понятия непрерывности функции с помощью приращений Δx и Δy.

В учебнике [2] вводится понятие о предельном переходе в разностном отношении Δf/Δx при Δx 0, где Δf = f(x+ Δx) – f(x). Непрерывность функции в точке также трактуется при помощи предельного перехода (f(x)f(x) при xx). При этом нет определений, содержащих слово «предел» (lim).

В учебнике [1] при определении производной рассматривается предел разностного отношения (f(x+h) – f(x))/h при h0. Здесь же дается строгое определение предела функции f(x) в точке x₀на языке «ε-δ». Приводится пример, иллюстрирующий как при помощи определения предела доказать его существование и указать чему он равен. Определение непрерывности функции в точке предлагается в виде равенства.

Во всех упомянутых выше учебниках предел функции используется для нахождения производных элементарных функций, но нет упражнений на вычисление пределов.

Таким образом, знания школьников по данному вопросу естественно недостаточны для успешного изучения темы «Пределы» в вузе потому, что в общеобразовательной школе изучение теории пределов не входит в программу по математике. Следует отметить, что большинство студентов, изучающих математический анализ, испытывают трудности в данном вопросе. По-видимому, такая ситуация связана с характером материала. Как правило, студентов в некоторой степени удаётся научить вычислять пределы, используя теоремы и различные приёмы, а также научить студентов произносить формулировку определения предела на языке «ε-δ». Однако умение вычислить предел и даже знание формулировки не означают, что студенты понимают смысл этого понятия и его тесную связь с понятием непрерывности функции.

В определении предела по Коши для бакалавров достаточно положить, что функция f(x) определена в некоторой окрестности точки x=x₀, кроме, быть может, самой точки x₀. Понятие предела по множеству в точке x₀ содержательно только для такого множества E, для которого точка x₀ является его точкой прикосновения. Теорию пределов и непрерывности по множеству следует отнести ко второй ступени высшего образования.

Определение предела функции полезно формулировать студентам в полном словесном виде, а затем показать краткую запись с помощью кванторов. Краткая запись определения предела в разных учебниках выглядит по - разному [3, 5]. Например, за основу можно взять запись:

.

При этом следует заострить внимание студентов, что неравенства можно представить и так , указать запись с использованием обозначения окрестности, в виде . Также и для выражения необходимо привести равнозначную запись: После этого можно проиллюстрировать определение предела функции в точке геометрически, обратив при этом внимание на особенность поведения функции в самой точке .

Запись определения предела функции с помощью кванторов полезна и при определении непрерывности функции в точке, и для записи различных математических утверждений.

Определение предела функции в точке ещё более уточняется после того, как студенты знакомятся с односторонними пределами. Здесь студенту важно увидеть, что если существует , то существуют оба односторонних предела и они равны а. Обратно, если существуют оба предела и , причем они равны a, то существует предел функции, и он равен a.

Доказательство теорем и утверждений на языке «ε-δ» с использованием краткой записи при помощи кванторов формирует у студентов достаточно прочный навык их применения.

Чтобы активизировать знания студентов, полученных на лекциях по теме «Предел», целесообразно перед коллоквиумом вернуться к пройденному материалу и систематизировать его в определенном смысле. Студентам-первокурсникам довольно трудно усвоить указанную тему, только прослушав и записав лекции. Существует реальная возможность поработать со студентами дополнительно по освоению изучаемого материала. По учебному плану дисциплины выделяется аудиторное время на контроль самостоятельной работы студентов (КСР). Часть таких занятий отводится на изучение теоретических вопросов.

Перед проведением занятий КСР студентам предлагается дома повторить тему, выделить наиболее важные теоретические положения. На самом занятии преподаватель ставит перед студентами вопросы, ответы на которые они готовят, работая в парах или группах. При этом они могут пользоваться своими конспектами или учебными пособиями. Общаясь в группе, студенты советуются, уточняют ответы.

Одно из занятий по контролю самостоятельной работы студентов полезно посвятить изучению различных видов пределов. При этом целесообразно составить таблицу определений пределов. Сначала выписать на доске в столбец пределы: , , , , и другие, подобные им. Далее, вызывая студентов к доске, попросить расшифровать указанные записи в виде:

.

При этом, выясняя смысловую сторону вопроса, студент должен дать схематический рисунок, показать понимание на наглядно-интуитивном уровне. Здесь же необходимо привлечь внимание студентов на правильность ответа. На вопрос преподавателя о достоверности записи или рисунка любой желающий студент может выйти к доске и исправить замеченные недочеты. Расшифровка записей на доске, их сравнительный анализ, трактовка изучаемых пределов поможет студенту понять суть изучаемого вопроса, а это способствует развитию его математического мышления.

Аналогично необходимо рассмотреть и вопросы теории, идущие за определением предела функций. А именно, следует обратить внимание студентов на теоремы, характеризующие свойства функций, имеющих предел, на взаимосвязь бесконечно большой функции и бесконечно малой функции в точке, вспомнить леммы о бесконечно малых. Рассматривая арифметические свойства пределов, следует чётко выделить теоремы, на которых базируется их доказательство. Заострив внимание на сравнении бесконечно малых функций, необходимо выписать на доске таблицу эквивалентных бесконечно малых. Преподаватель должен обратить внимание студентов на виды неопределённостей и привести их. Полезно вместе со студентами на доске получить краткое доказательство важных теорем, вспомнить ход доказательства первого замечательного предела, привести план вывода числа е, указать, в чём заключается вывод второго замечательного предела.

Занятия описанного вида способствуют активному восприятию материала, акцентируют внимание студентов на наиболее важных аспектах теории. Практика показывает, что на коллоквиуме даже слабые студенты дают ответы на поставленные вопросы, а сильные студенты все утверждения доказывают.

Литература

1. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В.Сидоров и др.-11-е изд.-М.: Просвещение, 2003. − 384 с.: ил.

2. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын и др.; Под ред. А.Н. Колмогорова.– 13-е изд. – М.: Просвещение, 2003. − 384 с.: ил.

3. Кудрявцев, Л.Д. Курс математического анализа: В 3т.-5-е изд., перераб. и доп.– М: Дрофа. – (Высшее образование: Современный учебник). Т.1:Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной. – 2003. – 704 с.: ил.

4. Мордкович, А. Г. Алгебра и начала анализа. 10-11 кл.:В 2 ч. Ч.1: Учеб. для общеобразоват. учреждений / А. Г. Мордкович. − 4-е изд. − М.: Мнемозина, 2003. − 375 с.: ил.

5. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по высшей математике [Текст]. − 5-е изд. − М.: Айрис Пресс. Ч.1: Тридцать шесть лекций. − 2005. − 288 с.: ил.