К.т.н. Толстунов В.А.

Кемеровский государственный университет, Россия

Восстановление сигналов с помощью обобщенной пространственной фильтрации

 

Среди широкого круга задач цифровой обработки сигналов важную роль играют задачи восстановления полезных информационных сигналов, искаженных различными шумами. Для решения этих задач предложено много алгоритмов фильтрации, которые успешно работают как в пространственной области, так и в частотной. Многие из этих алгоритмов используются не только для восстановления, но и для улучшения полезных сигналов. В частности, среди пространственных алгоритмов широкое применение нашли различные усредняющие фильтры, фильтры, использующие порядковые статистики.

В данной работе предлагается алгоритм обобщенного цифрового пространственного фильтра для восстановления полезных сигналов. Также, в работе кратко обсуждаются некоторые частные случаи предложенного алгоритма.

1. Обоснование алгоритма.

Пусть имеем фильтр со скользящим окном, длиной апертуры , на вход которого поступает  сигнал с отсчетами , , где – отсчеты полезного детерминированного сигнала,  – отсчеты мешающего шума. По значениям входного сигнала из апертуры  будем определять значение выхода фильтра , соответствующего отсчету . Полагаем, что в пределах апертуры фильтра значения полезного сигнала практически одинаковы. Тогда

,  .

Отличие   от  будем характеризовать соотношением

                              ,                            (1)

где  – монотонная, однозначная, дифференцируемая функция, для которой .  – некоторое расстояние между значениями  и значением. Тогда в качестве выхода фильтра возьмем такое  , для которого величина  минимальна по . В частности, если L дифференцируема по , то выход  фильтра определяется решением уравнения

.

В силу условия предыдущее уравнение принимает вид

                                                                                                       (2)

2. Известные фильтры, как частные случаи предлагаемого алгоритма.

Пусть расстояние L является квадратичным и задано в виде

                   .               (3)

В (3) ,  - некоторая однозначная, монотонная функция.

Из уравнения (2) для расстояния (3) легко находим

                                                                                  (4)

Обозначим

Тогда из (4)

                                                                                  (5)

Алгоритм (5) легко обобщается на случай обработки изображений. Действительно, если апертурой фильтра является квадрат размера  с центром в точке (k,l), то

                                                             (6)

Алгоритм (5) позволяет построить целое семейство сглаживающих фильтров.  Если в (5)  , , то получаем усредняющий фильтр с маской, задаваемой  коэффициентами  . Если еще  , то (5) дает простейший фильтр выборочного усреднения.

Пусть в (5)  , , тогда

                                                                       (7)

При  n>>1 (7) можно представить в виде рекуррентной формулы

                                                                 (8)

Так как  , то вводя обозначение , для (8) будем иметь

                                                  .                                 (9)

Соотношение (9) представляет собой хорошо известный фильтр экспоненциального  сглаживания.

Пусть в (5)  , . Тогда

 = =

                                == .                            (10)

В результате получаем классический фильтр геометрического среднего.

Пусть в (1) расстояние L выбрано в виде

                                         (11)

В последнем соотношении перенумеруем слагаемые так, чтобы

                                 .                                    (12)  

Тогда  (11) можно представить в виде

.

Очевидно, что минимум  по  достигается при   и равен  

.

Так как   по предположению является монотонной, однозначной  и, согласно  (12), возрастающей,  то в точке максимума , причем

.    

То есть

                                          .                                 (13)

В результате, в случае расстояния (11) мы приходим к широко известному в теории и практике нелинейному медианному фильтру [1].

3. Новые фильтры, как частные случаи предлагаемого алгоритма.

Соотношения (5),(6) позволяют получить новые алгоритмы сглаживающих фильтров.

Пусть  ,. Тогда из (5)

= =

                                        =.                              (14)

Исследование алгоритма (14) показало [2], что его сглаживающие свойства лучше, чем у традиционного фильтра геометрического среднего (10).

Вернемся к соотношению  (5). Пусть ,, . Тогда можно найти, что

                                                                  (15)

Аналитическое и численное исследование фильтра (15) показало [3], что он лучше, чем медианный фильтр удаляет гауссовский и импульсный шумы, причем, в случае интенсивного импульсного шума его преимущество существенно.

Возьмем алгоритм (6). Пусть  ,, m>0. Тогда для выходного сигнала будем иметь

                                                                               (16)

Аналитическое и численное исследование фильтра (16) показало [4], что он обладает хорошими сглаживающими свойствами. При удалении импульсного шума большой интенсивности он работает намного лучше медианного.

Пусть в (6)  , , . Тогда для выхода фильтра будем иметь

                                                                  (17)

Исследование алгоритма (17) показало [5], что данный усредняющий фильтр с заданными весовыми множителями хорошо удаляет как гауссовский, так и импульсный шумы. При удалении импульсного шума высокой интенсивности его сглаживающие свойства не хуже, чем у фильтра (16).

Литература:

1.  Быстрые алгоритмы в цифровой обработке изображений / Т.С. Хуанг и др.; под ред. Т.С. Хуанга. М.: Радио и связь, 1984.-224 с.

2. Толстунов В.А. Нелинейный сглаживающий фильтр геометрического среднего / В.А. Толстунов // Вестник Кемеровского государственного университета -2008.-Т. №1(33).- С. 29-32.

3. Толстунов В.А. Нелинейный усредняющий фильтр с экспоненциальным преобразованием / В.А. Толстунов, П.В. Степанец  // Доклады ТУСУРа. 2009.-Т. 2(20).- С. 43-47.

4. Толстунов В.А. Нелинейная фильтрация на основе степенного преобразования / В.А. Толстунов  // Доклады ТУСУРа. 2012.-Т. 1(25).- С. 71-75.

5. Толстунов В.А. Сглаживающий цифровой  фильтр с экспоненциальными весовыми множителями  / В.А. Толстунов  // Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук. 2013.-Т. 1(48).- С. 38-43.