«…Мы живем в многомерном мире…»
А.В. Коротков
Международный Центр теоретической Физики
г.Новочеркасск
Уважаемые дамы и господа!
Вашему вниманию предлагается работа «…Мы живем в многомерном мире…» альтернативной теории гиперкомплексных чисел.
В середине двадцатого столетия выяснилось, что трёхмерная векторная алгебра Гамильтона-Грассмана, которая в течении предыдущего столетия составляла математическую базу всех разделов физики и ряда других естественных наук, не способна описать ряд свойств элементарных частиц, в частности составную структуру электрического заряда и законы сохранения барионного числа и странности. С тех пор ведётся интенсивное исследование многомерных алгебраических систем (в том числе гиперкомплексных), был выполнен огромный объём работ, получен ряд важнейших результатов, но нет ответа на два принципиальных вопроса:
· какое число измерений соответствует многомерному физическому миру;
· какими математическими средствами описывать закономерности многомерного пространства.
Простой перебор вариантов построения многомерного физического мира не даёт решения поставленных задач. На этом пути пришлось бы рассмотреть бесконечное множество возможных размерностей, а также способов задания алгебры.
Правилом отбора алгебры, принятым автором научного доклада, явилась необходимость сохранения всех физических законов трёхмерного мира в рамках многомерного физического мира. Другими словами трёхмерная векторная алгебра Гамильтона-Грассмана (и только она) должна являться подалгеброй многомерной алгебры. На этом пути мы неизбежно приходим к замечательному, но малоизвестному выводу Новосибирской алгебраической школы о том, что расширением трёхмерной векторной алгебры Гамильтона-Грассмана является семимерная векторная алгебра Мальцева со строго заданными структурными константами.
Дальнейшее развитие исследований очевидно. Необходимо изучить основные закономерности семимерного векторного исчисления в разделах векторной алгебры, дифференциальной геометрии линии и пространства, теории поля, а также рассмотреть возможность его приложения к задачам математического моделирования физических и технических объектов. В научном докладе решение поставленных задач осуществляется с применением классических методов трёхмерного векторного исчисления при описании его семимерного аналога.
В первой части работы установлены неизвестные ранее антисимметрические по перестановке двух векторов векторные функции- произведения двух-, трёх-, четырёх-, пяти- и шести- векторов, а также антисимметрические скалярные функции - смешанные произведения трех-, четырех- и семи- векторов. Найдено их координатное представление и выражение через элементарные функции, и тензоры структурных констант. Показано, что семимерная векторная алгебра антикоммутативна, неассоциативна, удовлетворяет соотношениям (Мальцева) и (Сейгла), выражены эти соотношения через элементарные функции, получены соотношения типа Якоби для произведений трёх-, четырёх-, пяти-, шести- и семи- векторов. Установлены основные тождества для двух-, трёх-, четырёх- и семи векторов, определены способы разложения векторов по семи векторам и семи векторным произведениям шестёрок векторов, установлены условия ортогональности векторов. Получены также выражения векторов взаимных базисов через отношения векторных произведений шести векторов и смешанных произведений семи векторов, а также найдены компоненты векторов через отношения смешанных произведений семи векторов. В заключение первой части работы рассмотрены некоторые типовые задачи семимерной векторной алгебры. За небольшим исключением рассмотренные функции обращаются в нуль в частном случае трёхмерной векторной алгебры.
Вторая часть работы посвящена вопросам нахождения основных соотношений семимерной дифференциальной геометрии линии. Здесь показано, что в семимерной дифференциальной геометрии сохраняется формальная запись основных дифференциальных соотношений, в частности правил дифференцирования векторных функций и формулы Тейлора. Это позволило получить правила дифференцирования векторов, векторных и смешанных произведений n-векторов (n≤7). Найдены также нормали линии в семимерном пространстве, дано выражение нормали линии через значения первых трёх производных от радиуса-вектора по скалярному аргументу. Это принципиально отличает семимерную дифференциальную геометрию линии от трёхмерной дифференциальной геометрии, где нормали линии определяются через значения первых двух производных. Это требует учёта высших производных в семимерных геометрических и физических приложениях, прежде всего в теоретической физике.
При рассмотрении дифференциальной геометрии поверхности определены касательные n-мерной поверхности и нормали к ней, площади области на n-мерной поверхности и способ преобразования параметров n-поверхности в новые параметры. В эти соотношения входят векторные произведения n-векторов и якобиан преобразований порядка n.
Третья часть работы посвящена вопросам нахождения основных соотношений семимерного векторного анализа. Здесь показано, что в семимерном векторном анализе сохранена формальная запись основных интегральных и дифференциальных соотношений трёхмерного векторного анализа, в частности формул (Остроградского) и (Стокса). При этом определена координатная форма записи основных дифференциальных операций теории полей- градиента скалярного поля, ротора и дивергенции векторного поля, операторов набла и Лапласа. Показано также, что выполняются первая и вторая теоремы о градиенте и определены направляющие косинусы нормали к n- поверхности.
Дифференциальные операции второго порядка, а также операции для алгебраической суммы и произведения двух функций, сохраняют свой вид, за исключением градиента скалярного произведения двух векторов и ротора векторного произведения. Координатная запись основных дифференциальных соотношений векторного анализа существенно отличается от их аналогов в трёхмерном векторном анализе. В частности семимерное векторное поле должно рассматриваться как совокупность семи однотипных в математическом отношении трёхмерных векторных полей. Семимерный векторный анализ предполагает также введение значительного числа операций над векторными и смешанными произведениями n – векторов, обращающимися в нуль в трёхмерном случае. В семимерном векторном анализе возможно построение потенциального, соленоидального и лапласового полей, а гармонические функции, обращающие в нуль лапласиан скалярного поля, обратно пропорциональны пятой степени расстояния.
Четвёртая часть работы посвящена вопросам нахождения основных соотношений, характеризующих свойства свободной частицы, зарядов в поле и самого поля в восьмимерном пространстве-времени, естественным образом расширяющего четырёхмерное пространство-время Минковского. Здесь показано, что формальная запись основных соотношений специальной теории относительности, таких как: квадрат интервала, собственное время, преобразование координат и других величин сохраняется, при изменении их координатной записи. То же самое можно сказать о соотношениях, характеризующих поведение свободной частицы и заряда в поле. При этом сохраняются формальная запись функции Лагранжа, величины энергии, импульса, связи между ними, восьмимерного вектора скорости, причём как в векторном, так и в тензорном виде. Уравнение движения заряда видоизменяется, но сводится к уравнению Лоренца. Изменяется также вид инвариантных величин.
Теория восьмимерного пространства-времени остаётся калибровочной теорией, позволяет найти аналоги уравнения Максвелла, уравнения непрерывности, соотношения для плотности энергии поля, законов сохранения энергии и импульса, вектора Пойнтинга, уравнений, соответствующих постоянным полям и волнового уравнения.
Приложения работы посвящены вопросам нахождения семимерных преобразований вращения векторов, а также вопросам описания частиц с единичным спином (изовекторная алгебра) и полуединичным спином (спинорная алгебра), а также соответствующих им симметрий в семимерном пространстве. Затронуты также вопросы решения семимерных уравнений Гельмгольца и применений семимерных соотношений при математическом моделировании технических объектов.
Здесь найдены матрицы семипараметровых семимерных ортогональных преобразований, выраженных через угловые компоненты и параметры (Эйлера), матрицы вращения вокруг семи координатных осей и матрицы вращений вокруг произвольной оси в семимерном пространстве, матрицы бесконечно малых преобразований и матрицы генераторов группы семимерных вращений. Из генераторов группы образован оператор (Казимира), отвечающий сохраняющейся величине – квадрату момента импульса. Неожиданным образом эти величины оказались близкими к соотношениям SU3- теории ядерных сил, имеющих отдельные экспериментальные подтверждения.
Решения семимерного уравнения Гельмгольца, записанного в сферической ортогональной системе координат, получены методом разделения переменных и сводятся к решению уравнения Бесселя порядка 5/2, четырём решениям уравнения Гегенбауэра с различными переменными, решению уравнения Лежандра и решению уравнения гармонических колебаний. Общее решение является их произведением и существенно отличается от трёхмерных решений, дающих основные квантовые числа в трехмерной физике.
При рассмотрении изовекторной алгебры найдена запись изовекторов первого и второго рангов, уравнения (Дирака), как системы из четырнадцати линейных уравнений, семирядные матрицы (Паули), четырнадцатирядные матрицы Дирака, выражение гамильтониана и уравнение непрерывности. Соответствующая Q7- симметрия даёт теоретическое обоснование экспериментально полученной величины заряда частиц и устанавливает два закона сохранения – квадратов модулей барионного числа и странности.
При рассмотрении семимерной спинорной алгебры, найдена запись спиноров первого и второго рангов, уравнения (Дирака), как системы из двенадцати линейных уравнений, шестирядные матрицы (Паули), двенадцатирядные матрицы Дирака, выражение гамильтониана и уравнение непрерывности. Соответствующая SV6- симметрия даёт теоретическое обоснование структуры частиц (Глэшоу), экспериментально полученной величины заряда частицы и устанавливает два закона сохранения – квадратов модулей барионного числа и странности. Здесь рассмотрены также конечные вращения в семимерном пространстве, где найдены шестирядные унитарные матрицы вращения вокруг координатных осей, семипараметровые шестирядные матрицы вращения вокруг произвольной оси, параметры (Кэли) и параметры (Эйлера).
Столь подробное исследование удалось выполнить ранее только в рамках трёхмерных представлений о строении физического мира. Соответствующие трёхмерные решения всегда возникают, как частный случай семимерных решений, полностью сохраняя преемственность знаний. Многие результаты (в частности, уравнение электрического заряда) имеют достаточно прочное экспериментальное обоснование.
В течении последнего десятилетия, рассмотрены основополагающие вопросы построения 15-, 31-, …, 2047-, …- мерных векторных алгебр дифференциальных геометрий и теорий поля.
«… мы живем в
многомерном мире…», включающим трехмерный мир, как совершенно частный случай в
пренебрежении отдельными структурными константами векторной алгебры большей
размерности, но «…воз и ныне там…». Обратим Ваше внимание, что за доказательство
существование семимерных сфер с нестандартной гладкой структурой была вручена Международная
премия Абеля за 2011г. Джону Милнору (John
Milnor), директору Института математики университета Стони Брук (Institute for
Mathematical Sciences).
Спасибо за внимание.
Литература
1. Коротков А.В.Элементы семимерного векторного исчисления. Алгебра. Геометрия. Теория поля.-Новочеркасск: Набла, 1996.-244с.
2. Korotkov A.V. Elements of hepta-dimensional veсtor and spinor calculus. –Novocherkassk: «NOK», 2000.-321 p.