УСТОЙЧИВОСТЬ ТРЕУГОЛЬНЫХ ТОЧЕК ЛИБРАЦИИ В ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ЗАДАЧЕ

А.Т.Турешбаев, С.Е.Мырзахметова

Проведем исследование устойчивости треугольных точек либрации. Положения точек L₄ и L₅ на плоскости Оху определяются из решения системы уравнений равновесия [6]

(2.5.1)

Тогда координаты х и у треугольных точек либрации находятся из равенств

(2.5.2)

(в последнем уравнении знак "плюс" соответствует точке либрации, расположенной выше оси абсцисс, а "минус"-точке, находящейся ниже оси абсцисс).

Для решения задачи введем возмущения Х=х-х_к, У=у-у_к, Z=z_k=0, (к=4, 5) (х_k, у_k, z_k -координаты точек либрации L₄ и L₅). Тогда линеаризованная система уравнений возмущенного движения, описывающая плоскую эллиптическую фотогравитационную задачу в окрестности треугольных точек либрации, запишется в виде [7]

(2.5.3)

Коэффициенты С_хх, С_уу, С_zz, С_ху определенные с учетом равенств равны

Система уравнений (2.5.3) является 2p периодической по истинной аномалии J. Для определения характеристической показателей построим фундаментальную систему решений с начальными значениями

Численным интегрированием системы (2.5.4) определяются значения линейно независимых решений в конце периода Т=2p и составляем характеристическое уравнение четвертого порядка

Далее, определяем корни этого уравнения и проверяем условие устойчивости. При этом, проверяется принадлежность области устойчивости каждой точки либрации.

Результаты численных исследований при е=0.02 позволяют установить, что на плоскости (х, у) точки либрации занимают область, ограниченную двумя кривыми - дугами окружностей.

Этот результат численно подтверждает аналитические исследования работы, в которой установлено, что для достаточно малых, но не равных нулю значений эксцентриситета неустойчивость возникает лишь при значениях m из промежутка m*£m£0.5, где (m*=0.02128644612…). В настоящей работе численно определено минимальное значение эксцентриситета е=0.00110546…, при котором еще вся область заполнена устойчивыми точками либрации.

С ростом величины относительной массы m количество устойчивых треугольных точек либрации продолжает уменьшаться. Когда m=0.03 область устойчивости распадается уже на пять частей. Две из них включают в себя классические точки либрации L₄ и L₅. В промежутке значений 0.03£m£0.05 наблюдается разрушение фрагментов области устойчивости, в которые входят классические точки либрации. При m=0.05 существуют только при части области устойчивости, а классические точки либрации уже неустойчивые. Наконец, m=0.5 три области, в которых существуют устойчивые точки либрации, сохраняются.

Рост величины е приводит к тому, что количество устойчивых точек либрации продолжает уменьшаться вдоль координаты у, а область устойчивости, которую они образуют больше не распадается на части. При е£0.9 устойчивыми могут быть точки либрации имеющие значения координаты у близкие к нулю. При координате у=0 треугольные точки либрации вырождаются в коллинеарные точки либрации. Следовательно, предельное значение эксцентриситета, при котором может существовать устойчивая точка либрации, соответствует выше полученному значению -0.99537414…

Результаты проведенных исследований устойчивости точек либрации в фотогравитационной эллиптической ограниченной задаче трех тел показали:

· Внешние коллинеарные точки либрации (L₂, L₃) всегда неустойчивы. При определенных значениях коэффициентов редукции Q₁ и Q₂ устойчивыми могут быть только внутренние точки либрации. Здесь, чем меньше величина относительной массы m, тем шире интервал коэффициентов редукции, при котором внутренние коллинеарные точки будут устойчивы.

Появляющийся параметрический резонанс приводит к неустойчивости точек либрации L₂ при значениях е близких к нулю. В результате, внутри области необходимых условий устойчивости появляется зона неустойчивости: эта зона увеличивается с ростом е. Размеры области устойчивости уменьшаются быстрее в сторону нижней границы интервала и при е=0.27… внутри области необходимых условий устойчивости больше не существует зоны неустойчивости.

Значение е=0.99537414… является максимально возможной величиной эксцетриситета, при которой устойчивой будет единственная точка либрации, находящаяся в центре масс основных тел.

· Треугольные точки либрации будут устойчивы при значениях эксцетриситета е<0.00110546… и относительной массы m<0.02128644612…. Появления параметрического резонанса приводит к неустойчивости треугольных точек, вследствие чего внутри области устойчивости образуются зоны неустойчивости. Рост величины е при m>m* приводит к увеличению количества зон неустойчивости (до четырех) и сокращению области устойчивости вдоль координаты у. При значениях е³0.27 область устойчивости больше на распадается на части, но продолжает уменьшаться. При больших значения эксцентриситета (е³0.9) устойчивыми будут точки либрации, появляющиеся при значениях координаты у близких к нулю.