Ж.Б. Бакиров, М.Ж. Бакиров, Г.Д. Таженова
Карагандинский государственный технический университет
Расчет нелинейных виброизоляторов при случайных воздействиях
Уравнение колебаний виброизолированного объекта массы при случайных воздействиях
имеет вид
где
- сила, возникающая в виброизоляторе;
- при силовом воздействии и
- при кинематическом воздействии;
и
- случайные процессы.
При кинематическом воздействии под следует понимать
относительное движение объекта. Упруго-диссипативную характеристику
виброизолятора
обычно представляют в
виде суммы упругой и диссипативной силы и линеаризуют вокруг среднего значения
перемещения
:
Коэффициенты линеаризации зависят от параметров колебательного процесса и при случайных воздействиях определяются методом статистической линеаризации [1]
(1)
где
- дисперсии процессов;
- плотности распределения процессов.
Пусть является
центрированным гауссовским процессом
. Если
, то уравнение движения можно осреднить и найти отдельно
среднее значение перемещения
. Линеаризованное уравнение движения имеет вид
где
х – центрированный случайный процесс;
Эффективным способом решения этого уравнения является спектральный метод, который позволяет определить спектральные плотности перемещения и скорости по формулам
Дисперсии процессов определяются по известным соотношениям
(2)
(3)
Удовлетворяя далее уравнение движения в среднем получаем .
Для определения вероятностных
характеристик колебаний надо найти коэффициенты линеаризации. Найдем их для наиболее
часто используемых видов упругих характеристик, полагая плотность распределения
нормальными. Будем считать упругие характеристики нечетными функциями. Тогда с
учетом получаем везде
.
Пусть
виброизолятор имеет симметричную кубическую характеристику вида . Тогда по второй формуле (1)
Для нормального
закона , поэтому
Для виброизолятора с предварительным натягом
Для виброизолятора с симметричными линейными ограничителями
при
при
Второй интеграл возьмем интегрированием по частям
Теперь окончательно получим
где
- табулированная
Лапласом функция нормального распределения.
Линеаризуем диссипативную силу сухого трения по третьей формуле (1):
Для виброизолятора с внутренним трением наиболее часто применяется следующее выражение для диссипативной силы [2]
где
,
- характеристики материала;
- амплитуда колебаний.
Тогда
Производя замену
, перепишем интеграл так:
Этот интеграл выражается через специальные функции [3]
где
- полная
бета-функция;
- полная
гамма-функция;
- вырожденная
гипергеометрическая функция;
.
Для вычисления
функции используем ее
асимптотическое представление при
:
где
,
Тогда
Окончательно
Значение
коэффициента следует находить
задавшись вероятностью Р непревышения
процессом амплитуды, которая определяется по формуле
Отсюда имеем
Выразив в (2) и
(3) коэффициенты и
через
,
, получаем систему двух нелинейных уравнений для определения
дисперсии процессов. Через них далее определяем коэффициенты линеаризации.
Коэффициенты эффективности виброзащиты определяются как и для линейной системы
(4)
Получим
выражения для определения дисперсии и расчета коэффициента виброизоляции при
конкретных воздействиях. Интегралы (2), (3) и (4) сводятся к вычислению стандартных
интегралов от дробно-рациональных функций [4].
Пусть внешнее воздействие является экспоненциально-коррелированным процессом вида
.
Тогда расчетные формулы примут вид
(5)
Для процесса со скрытой периодичностью
имеем
Расчетные формулы для идеально-узкополосного процесса
можно
получить отсюда, полагая .
Рассмотрим расчет
виброизолятора вязкого трения с кубической упругой
характеристикой при экспоненциально-коррелированном воздействии. Подставим
в (5) и введем
обозначения:
,
Тогда уравнение (5) примет вид
Решая это
уравнение, определяем . Тогда
Графики зависимости
и
при
,
,
показаны на рисунке 1.
Расчеты проведены с использованием ПК Matlab. На рисунке 1 б пунктиром показано решение линейной задачи.
|
Рисунок 1 – Графики изменения безразмерного параметра а) и стандарта перемещения б) при экспоненциально-коррелированном воздействии
После
определения находим
и далее определяем
коэффициент виброизоляции
Как видим, при вязком трении уравнение (2) не связано с уравнением (3) и расчет эффективности виброизолятора можно провести без определения дисперсии скорости.
Литература
1. Коловский М.З. Автоматическое управление виброзащитных систем –М.: Наука, 1976. -317 с.
2. Пальмов В.А. Колебания упруго-пластических тел –М.:Наука, 1976.-328с.
3. Справочник по специальным функциям /Под ред. М. Абрамовица и И. Стиган. –М.: Наука, 1979. -830 с.
4. Болотин В.В. Методы теории вероятностей и теории надежности в расчетах сооружений. –М.: Стройиздат, 1982. -351 с.