ИЗУЧЕНИЕ ПОЗИЦИЙ ПЕНТАРНЫХ ФИГУР

Евсеев В.И, канд. физ.-мат. наук, доцент,

г. Казань, РТ

УДК 681.32

Аннотация:

Данные заметки подготавливают возможность изучения логических формул пентарных фигур, составленных (склеенных) из пяти равных квадратных клеток (пентимы).

Ключевые слова: логическая фигура, оболочка, полигон фигуры, позиция фигуры.

These notes are prepared to study pentarnyh figures (pasted) established logical formulas of five equal square cells (pentimy). Key words: logical form, polygon shapes, the position of the shape.

Пентимы представляют собой логические фигуры средней сложности, их всего двенадцать различных форм. Они вместе с шести клеточными фигурами представляют совокупность фигур средней сложности. Малые логические фигуры содержат 2,3 или 4 клетки и называются простыми, а большие, сложные фигуры начинаются с соединения семи клеток. Из сложных фигур нами пока начато изучение септарных фигур (септимы), которых у которых определено количество (112) и явный внешний вид. Пентимы как система оказываются как бы в промежуточном положении, и нам удобно будет на их примере отработать всю методику изучения комплексов логических фигур.

1. О вмещающих полигонах для пентим.

Полигон представляет собой прямоугольник (матрицу), содержащий фигуру вместе с ее оболочкой. В этой статье мы будем придерживаться введенных уже нами обозначений, как самих фигур, так и их оболочек. Сами фигуры будем обозначать , где принимает значения от 1 до 12. Изображения всех пентарных фигур без оболочек составляют «полный полигон» размером 6х10. Он позволяет наглядно продемонстрировать все фигуры пентим.

Основной полигон пентим.

6	10	10		10	10	1	12	12	12	9	11
5	4	4		10	8	1	12	9	9	9	11
4	4	8		8	8	1	12	5	9	11	11
3	4	8		7	3	1	5	5	5	11	2
2	4	7		7	З	1	6	5	6	2	2
1	7		7	3	3	3	6	6	6	2	2

Позиция фигур на этом основном полигоне условно считается исходной, а все остальные получаются из исходных путем геометрических преобразований: поворотов (на + ) или зеркальной симметрии (относительно вертикальной оси). При этом каждая фигура предполагается находящейся в полной оболочке внутри полигона. Полигоны имеют традиционные обозначения. Саму фигуру будем обозначать серым цветом, оболочка обозначается краплением ее клеток. Конечно, при этом на полигоне могут оставаться и свободные, никак не отмеченные области.

2. Позиции первой фигуры.

Эта фигура может располагаться вертикально или горизонтально. Исходную позицию по ее виду определяем на полигоне: это вертикальная позиция. В силу симметрий фигура имеет только две возможные позиции.

Позиция (а) является вертикальной, те есть, принадлежит вместе с оболочкой полигону .

▒	▒	▒
▒		▒
▒		▒
▒		▒
▒		▒
▒		▒
▒	▒	▒

Вторая позиция этой фигуры () оказывается горизонтальной и принадлежит вместе с оболочкой полигону

▒	▒	▒	▒	▒	▒	▒
▒						▒
▒	▒	▒	▒	▒	▒	▒

Этим фигурам соответствуют логические матрицы, в первом случае

0	0	0
0	1	0
0	1	0
0	1	0
0	1	0
0	1	0
0	0	0

(а) =

А во втором случае получается аналогичная матрица .

В дальнейшем мы не будем строить логические матричные эквиваленты.

3.Позиции второй фигуры.

Так как вторая фигура какими-либо симметриями не обладает, то для нее возможно восемь различных позиций. Исходный вид второй фигуры на основном полигоне является условно вертикальным и принадлежащим полигону

	▒	▒	▒
▒	▒		▒
▒			▒
▒			▒
▒	▒	▒	▒

Здесь одна клетка полигона остается свободной, так не принадлежит ни фигуре, ни ее оболочке.

▒	▒	▒	▒	▒
▒				▒
▒	▒			▒
	▒	▒	▒	▒

При повороте этой фигуры на +получается фигура (), принадлежащая полигону :

Следующий поворот даст нам фигуру (с)

▒	▒	▒	▒
▒			▒
▒			▒
▒		▒	▒
▒	▒	▒

Последний возможный поворот исходной фигуры приводит к результату

▒	▒	▒	▒
▒			▒	▒
▒				▒
▒	▒	▒	▒	▒

()

▒	▒	▒
▒		▒	▒
▒			▒
▒			▒
▒	▒	▒	▒

Чтобы получить следующие позиции, нужно исходную фигуру подвергнуть зеркальной симметрии. Получаем в результате фигуру ()

Следующая позиция () строится из полученной путем поворота на +:

	▒	▒	▒	▒
▒	▒			▒
▒				▒
▒	▒	▒	▒	▒

Снова выполняем поворот этой матрицы и получаем фигуру ()

▒	▒	▒	▒
▒			▒
▒			▒
▒	▒		▒
	▒	▒	▒

Последняя возможная позиция этой фигуры () такова

▒	▒	▒	▒	▒
▒				▒
▒			▒	▒
▒	▒	▒	▒

4.Позиции третьей фигуры.

	▒	▒	▒
	▒		▒
▒	▒		▒	▒
▒				▒
▒	▒	▒	▒	▒

За исходную позицию, как принято, выбираем ее вид из основного полигона (а). Для этой фигуры вмещающий полигон всюду имеет тип .

Здесь на вмещающем полигоне всегда остаются четыре свободных клетки. Так как эта фигура обладает осевой симметрией, то для нее возможны только четыре позиции. Вторая позиция () получается поворотом:

		▒	▒	▒
▒	▒	▒		▒
▒				▒
▒	▒	▒		▒
		▒	▒	▒

Следующая позиция является результатом зеркальной симметрии для

исходной фигуры: ()

▒	▒	▒	▒	▒
▒				▒
▒	▒		▒	▒
	▒		▒
	▒	▒	▒

Для построения последней позиции этой фигуры применим к полученной фигуре поворот, так находится фигура ()

▒	▒	▒
▒		▒	▒	▒
▒				▒
▒		▒	▒	▒
▒	▒	▒

5. Позиции четвертой фигуры.

Исходная фигура на основном полигоне имеет вид (а)

▒	▒	▒	▒
▒			▒
▒		▒	▒
▒		▒
▒		▒
▒	▒	▒

Эта фигура погружена в полигон , поэтому в преобразованиях он может меняться на транспонированный полигон , и мы не будем в дальнейшем отмечать эти изменения, указывая лишь полигон исходной фигуры.

Фигура () получается путем поворота:

▒	▒	▒
▒		▒	▒	▒	▒
▒					▒
▒	▒	▒	▒	▒	▒

Следующий поворот приводит к фигуре (с):

	▒	▒	▒
	▒		▒
	▒		▒
▒	▒		▒
▒			▒
▒	▒	▒	▒

Новый поворот переводит ее в фигуру ():

▒	▒	▒	▒	▒	▒
▒					▒
▒	▒	▒	▒		▒
			▒	▒	▒

Теперь для получения фигуры (е) необходимо применить симметрию к исходной фигуре:

▒	▒	▒	▒
▒			▒
▒	▒		▒
	▒		▒
	▒		▒
	▒	▒	▒

Далее снова выполняем повороты, но уже к фигуре, подвергшейся симметрии.

Так получается фигура ():

▒	▒	▒	▒	▒	▒
▒					▒
▒		▒	▒	▒	▒
▒	▒	▒

Следующий поворот приводит к фигуре ():

▒	▒	▒
▒		▒
▒		▒
▒		▒	▒
▒			▒
▒	▒	▒	▒

Последний поворот приводит к фигуре ():

			▒	▒	▒
▒	▒	▒	▒		▒
▒					▒
▒	▒	▒	▒	▒	▒

6. Позиция пятой фигуры.

У пятой фигуры возможна только одна позиция ввиду наличия у нее двух осей симметрии. Эта фигура погружена в полигон .

	▒	▒	▒
▒	▒		▒	▒
▒				▒
▒	▒		▒	▒
	▒	▒	▒

(а):

7. Позиции шестой фигуры.

Исходная позиция всегда берется из основного полигона: (а),

Она погружена в полигон .

▒	▒	▒	▒	▒
▒		▒		▒
▒				▒
▒	▒	▒	▒	▒

Так как эта фигура обладает осевой симметрией, то она может иметь только четыре различных позиции. Вторая позиция () получается отсюда поворотом:

▒	▒	▒	▒
▒			▒
▒	▒		▒
▒			▒
▒	▒	▒	▒

Третий поворот приводит к фигуре (с):

▒	▒	▒	▒	▒
▒				▒
▒		▒		▒
▒	▒	▒	▒	▒

Последний поворот приводит к фигуре ()

▒	▒	▒	▒
▒			▒
▒		▒	▒
▒			▒
▒	▒	▒	▒

8. Позиции седьмой фигуры.

Эта фигура погружена в полигон .

Исходная позиция, представленная на основном полигоне, имеет вид (а):

		▒	▒	▒
	▒	▒		▒
▒	▒			▒
▒			▒	▒
▒	▒	▒	▒

Эта фигура имеет симметрию, поэтому для нее возможно только четыре различных позиции. Вторая из них() получается поворотом

▒	▒	▒	▒
▒			▒	▒
▒	▒			▒
	▒	▒		▒
		▒	▒	▒

Аналогично получается и третья позиция ():

	▒	▒	▒	▒
▒	▒			▒
▒			▒	▒
▒		▒	▒
▒	▒	▒

Последний поворот приводит к позиции ():

▒	▒	▒
▒		▒	▒
▒			▒	▒
▒	▒			▒
	▒	▒	▒	▒

9. Позиции восьмой фигуры.

Ее исходная позиция (а) берется из основного полигона, эта фигура обладает симметрией и погружена в полигон ,

		▒	▒	▒
▒	▒	▒		▒
▒				▒
▒		▒	▒	▒
▒	▒	▒

Позиция () является следствием поворота:

▒	▒	▒	▒
▒			▒
▒	▒		▒	▒
	▒			▒
	▒	▒	▒	▒

Для получения следующей позиции (e) нужно построить зеркальную симметрию исходной фигуры:

▒	▒	▒
▒		▒	▒	▒
▒				▒
▒	▒	▒		▒
		▒	▒	▒

Последняя позиция () является следствием поворота

	▒	▒	▒	▒
	▒			▒
▒	▒		▒	▒
▒			▒
▒	▒	▒	▒

10. Позиции девятой фигуры.

Эта фигура исходно принадлежит полигону .

Из основного полигона получаем исходную позицию(а) :

		▒	▒	▒
▒	▒	▒		▒
▒				▒
▒	▒		▒	▒
	▒	▒	▒

Эта фигура си метрий не имеет, то есть, обладает всеми восемью позициями.

Вторая позиция () получается поворотом:

▒	▒	▒	▒
▒			▒	▒
▒	▒			▒
	▒		▒	▒
	▒	▒	▒

Также получается и третья позиция ():

	▒	▒	▒
▒	▒		▒	▒
▒				▒
▒		▒	▒	▒
▒	▒	▒

Аналогично строится и четвертая позиция ():

	▒	▒	▒
▒	▒		▒
▒			▒	▒
▒	▒			▒
	▒	▒	▒	▒

Для построения следующей позиции () выполняется симметрия исходной фигуры:

▒	▒	▒
▒		▒	▒	▒
▒				▒
▒	▒		▒	▒
	▒	▒	▒

Позиция () получается из предыдущей позиции с помощью поворота:

	▒	▒	▒
	▒		▒	▒
▒	▒			▒
▒			▒	▒
▒	▒	▒	▒

Также поворотом из этой позиции получается следующая ():

	▒	▒	▒
▒	▒		▒	▒
▒				▒
▒	▒	▒		▒
		▒	▒	▒

Отсюда таким же поворотом следует последняя позиция ():

	▒	▒	▒	▒
▒	▒			▒
▒			▒	▒
▒	▒		▒
	▒	▒	▒

11. Позиции десятой фигуры.

Эта фигура исходно принадлежит полигону

Исходная позиция() находится из основного полигона

▒	▒	▒	▒	▒	▒
▒					▒
▒	▒	▒		▒	▒
		▒	▒	▒

Так как эта фигура не имеет симметрий, то нам надо найти восемь возможных позиций. По принятой методике получаем вторую позицию ():

▒	▒	▒
▒		▒	▒
▒			▒
▒		▒	▒
▒		▒
▒	▒	▒

После поворота находим третью позицию():

	▒	▒	▒
▒	▒		▒	▒	▒
▒					▒
▒	▒	▒	▒	▒	▒

Также строится и четвертая позиция ():

	▒	▒	▒
	▒		▒
▒	▒		▒
▒			▒
▒	▒		▒
	▒	▒	▒

▒	▒	▒	▒	▒	▒
▒					▒
▒	▒		▒	▒	▒
	▒	▒	▒

Теперь нужно найти результат зеркальной симметрии исходной позиции и получить позицию ():

В дальнейшем каждая позиция следует из предыдущей поворотом. ():

▒	▒	▒
▒		▒
▒		▒	▒
▒			▒
▒		▒	▒
▒	▒	▒

Для позиции () имеем

		▒	▒	▒
▒	▒	▒		▒	▒
▒					▒
▒	▒	▒	▒	▒	▒

Последний поворот приводит к позиции ():

	▒	▒	▒
▒	▒		▒
▒			▒
▒	▒		▒
	▒		▒
	▒	▒	▒

12. Позиции одиннадцатой фигуры.

Эта фигура симметриями не обладает и на основном полигоне имеет следующий вид (), так как принадлежит полигону .

	▒	▒	▒
	▒		▒
▒	▒		▒
▒			▒
▒		▒	▒
▒	▒	▒

Вторая позиция получается поворотом: ()

▒	▒	▒	▒	▒
▒				▒	▒
▒	▒	▒			▒
		▒	▒	▒	▒

Следующий поворот приводит к третьей позиции ():

	▒	▒	▒
▒	▒		▒
▒			▒
▒		▒	▒
▒		▒
▒	▒	▒

В результате нового поворота получаем позицию ():

▒	▒	▒	▒
▒			▒	▒	▒
▒	▒				▒
	▒	▒	▒	▒	▒

Для получения следующих позиций нужно выполнить зеркальную симметрию исходной фигуры, при этом строится позиция ().

▒	▒	▒
▒		▒
▒		▒	▒
▒			▒
▒	▒		▒
	▒	▒	▒

Позиция () получается из предыдущей поворотом:

		▒	▒	▒	▒
▒	▒	▒			▒
▒				▒	▒
▒	▒	▒	▒	▒

Затем также находится позиция ():

▒	▒	▒
▒		▒	▒
▒			▒
▒	▒		▒
	▒		▒
	▒	▒	▒

Следующий поворот приводит к последней позиции ()

	▒	▒	▒	▒	▒
▒	▒				▒
▒			▒	▒	▒
▒	▒	▒	▒

13. Позиции двенадцатой фигуры.

Эта фигура может быть погружена в полигон и обладает симметрией. Значит, она может иметь четыре позиции, на основном полигоне ее исходная

позиция () следующая:

▒	▒	▒	▒	▒
▒				▒
▒		▒	▒	▒
▒		▒
▒	▒	▒

Остальные позиции получаются с помощью поворотов.

Позиция () Позиция () Позиция ()

▒	▒	▒
▒		▒
▒		▒	▒	▒
▒				▒
▒	▒	▒	▒	▒

		▒	▒	▒
		▒		▒
▒	▒	▒		▒
▒				▒
▒	▒	▒	▒	▒

▒	▒	▒	▒	▒
▒				▒
▒	▒	▒		▒
		▒		▒
		▒	▒	▒

Таким образом, мы нашли все допустимые позиции пентарных фигур, чтобы затем получить формулы этих фигур, что будет сделано в последующих работах.

Литература:

1. Евсеев В.И. Конструктивная комплементарная семантика. Монография. Изд-во «Ламберт». 2014 г.

2. Евсеев В.И. Аспекты информознания //Труды международной научно-практической конференции «Новости передовой науки». Т.12 (63-74).