*119706*

І.І. Веренич, М.П. Ленюк

Чернівецький факультет НТУ «ХПІ»

Скінченне гібридне інтегральне перетворення типу Ейлера – Бесселя – (Конторовича-Лєбєдєва) на полярній осі

Запровадимо інтегральне перетворення, породжене на множині

гібридним диференціальним оператором (ГДО)

(1)

У рівності (1) – одинична функція Гевісайда [1], - диференціальний оператор Ейлера другого порядку [2], - диференціальний оператор Бесселя [3], - диференціальний оператор (Конторовича-Лєбєдєва) [4]; , , , .

Означення. Областю визначення ГДО назвемо множину G вектор-функцій з такими властивостями: 1) вектор-функція неперервна на ; 2) функції задовольняють крайові умови

(2)

3) функції задовольняють умови спряження

(3)

Вважаємо, що виконані умови на коефіцієнти: , , , , , , ; .

Для вектор-функцій та має місце базова тотожність:

(4)

Ми прийняли до уваги, що умови спряження (3) неоднорідні, тобто в правій частині рівності (3) замість нуля стоїть .

Визначимо числа

, , ,

вагову функцію

та скалярний добуток

+ (5)

Безпосередньо перевіряється наявність рівності

(6)

Рівність (6) означає, що ГДО самоспряжений оператор. Отже, його спектр дійсний. Оскільки ГДО на множині не має ні одної особливої точки, то його спектр дискретний [5]. Останнє означає, що власному числу ГДО відповідає дійсна власна функція

(7)

При цьому функції повинні задовольняти відповідно диференціальні рівняння

,

, (8)

,

крайові умови (2) та умови спряження (3); , .

Фундаментальну систему розв'язків для диференціального рівняння Ейлера утворюють функції та [2]; фундаментальну систему розв'язків для диференціального рівняння Бесселя утворюють функції Бесселя та [3]; фундаментальну систему розв'язків для диференціального рівняння (Конторовича-Лєбєдєва) утворюють функції та [4].

В силу лінійності спектральної задачі Штурма-Ліувілля (8), (2), (3) можна покласти

,

, (9)

.

Умови спряження (3) і крайова умова в точці для визначення величин , дають однорідну алгебраїчну систему рівнянь:

,

(10)

Для того, щоб однорідна система (10) мала ненульові розв'язки, необхідно й досить, щоб її визначник був рівний нулю [6]:

(11)

У рівностях (10) прийняті позначення:

;

Ми одержали трансцендентне рівняння для обчислення власних чисел ГДО , визначеного рівністю (1).

Підставимо в систему (10) () й відкинемо перше рівняння внаслідок лінійної залежності. При розглянемо алгебраїчну систему стосовно :

(12)

Визначник алгебраїчної системи обчислюється безпосередньо:

Алгебраїчна система (12) має єдиний розв'язок [6]:

(13)

При відомих для визначення маємо алгебраїчну систему:

(14)

Визначник алгебраїчної системи (14) обчислюється безпосередньо:

Алгебраїчна система (14) має єдиний розв'язок [6]:

, (15)

Підставимо величини згідно формул (13) та (15) у рівності (9). Одержимо функції:

,

(16)

.

Згідно рівності (7) спектральна вектор-функція визначена. Її квадрат норми

(17)

Згідно з роботою [7] маємо твердження:

Теорема 1 (про дискретний спектр). Корені трансцендентного рівняння складають дискретний спектр ГДО : дійсні, різні, симетричні відносно точки й на піввісі утворюють монотонно зростаючу числову послідовність з єдиною граничною точкою .

Теорема 2 (про дискретну функцію). Система власних функцій ортогональна на множині з ваговою функцією , повна й замкнена.

Теорема 3 (про зображення рядом Фур'є). Будь-яка вектор-функція зображається за системою абсолютно й рівномірно збіжним на множині рядом Фур'є

(18)

Ряд Фур'є (18) визначає пряме та обернене скінченне гібридне інтегральне перетворення (СГІП), породжене на множині ГДО :

(19)

(20)

Введемо до розгляду величини та функції:

, ,

, ,

.

Теорема 4 (про основну тотожність). Якщо вектор-функція неперервна на множині , а функції задовольняють крайові умови

(21)

та умови спряження

(22)

то справджується основна тотожність СГІП ГДО :

(23)

Доведення: Згідно правила (19)

(24)

Проінтегруємо у рівності (24) під знаком інтегралів два рази частинами:

. (25)

В силу крайових умов (21) знаходимо, що:

1) при

(26)

2) (27)

Внаслідок базової тотожності (4) знаходимо:

1) в точці спряження

(28)

тому що в силу вибору чисел та вираз

.

2) в точці спряження

(29)

тому, що в силу вибору чисел та вираз

.

Із диференціальних тотожностей

,

знаходимо, що

,

, (30)

Одержані функціональні співвідношення (26)-(30) показують, що рівність (25) набуває вигляду:

(31)

Оскільки

,

то рівність (31) співпадає з рівністю (23).

Одержані в роботі правила (19), (20) та (23) складають математичний апарат для одержання точного аналітичного розв’язку алгоритмічного характеру достатньо широкого класу стаціонарних та нестаціонарних задач математичної фізики неоднорідних середовищ.

Список використаних джерел:

1. Шилов Г.Е. Математический анализ. Второй специальный курс. – М.: Наука, 1965. – 328с.

2. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. – М.: Физматгиз, 1959. – 468с.

3. Ленюк М.П. Исследование основных краевых задач для диссипативного волнового уравнения Бесселя. – Киев, 1983. – 62с. – (Препринт / АН УССР. Ин-т математики; 83.3).

4. Ленюк М.П., Міхалевська Г.І. Інтегральні перетворення типу Конторовича-Лєбєдєва. – Чернівці: Прут, 2002. – 280с.

5. Ленюк М.П., Шинкарик М.І. Гібридні інтегральні перетворення (Фур'є, Бесселя, Лежандра). Частина 1. – Тернопіль: Економ. думка, 2004. – 368с.

6. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. – М.: Наука, 1971. – 432с.

7. Комаров Г.М., Ленюк М.П., Мороз В.В. Скінченні гібридні інтегральні перетворення, породжені диференціальними рівняннями другого порядку. – Чернівці: Прут, 2001. – 228с.

8. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. – М.: Наука, 1972. – 735с.