*119990*

М. П. Ленюк, М.І. Шинкарик

Чернівецький факультет НТУ “ХПІ”

Тернопільський національний економічний університет

Обчислення невласних інтегралів за власними елементами гібридного диференціального оператора Ейлера - Фур’є - Лежандра на сегменті  полярної осі

 

Побудуємо на множині  обмежений розв’язок сепаратної системи звичайних диференціальних рівнянь Ейлера , Фур’є та Лежандра для модифікованих функцій

                                                             (1)

за крайовими умовами

                                                          (2)

та умовами спряження

                                   (3)

          У рівностях (1) беруть участь диференціальні оператори Ейлера  Фур’є  та Лежандра

         Умови на коефіцієнти:

          Нагадаємо, що: 1) фундаментальну систему розв’язків для диференціального рівняння Ейлера  утворюють функції  та ; 2) фундаментальну систему розв’язків для диференціального рівняння Фур’є  утворюють функції  та  3) фундаментальну систему розв’язків для диференціального рівняння Лежандра  утворюють функції  та  

          Наявність фундаментальної системи розв’язків дозволяє побудувати розв’язок крайової задачі (1)-(3) методом функції Коші

                                             (4)

      У рівностях (4) - функції Коші

                                                                  (5)

де

      Нехай функція Коші

                      

       Умова обмеження в точці  вимагає, щоб  Для визначення величин  властивості (5) функції Коші дають алгебраїчну систему з двох рівнянь:

                           

    Звідси знаходимо співвідношення:

                                                                 (6)

Доповнимо рівності (6) алгебраїчним рівнянням

                                  (7)

          Із алгебраїчної системи (6),(7) знаходимо, що

     Цим функція Коші  визначена й внаслідок симетрії відносно діагоналі  має структуру:

                                            (8)

      Безпосередньо перевіряється, що функція Коші

                  (9)

      Припустимо, що функція Коші

                   

     Властивості (5) функції Коші дають алгебраїчну систему:

Звідси знаходимо співвідношення

                                           (10)

   Доповнимо функціональні залежності (10) алгебраїчними рівняннями:

 

 

                                   (11)

          

          Із алгебраїчної системи (10),(11) знаходимо, що

     Цим функція Коші  визначена й внаслідок симетрії стосовно діагоналі  має структуру:

              (12)

У формулах (8),(11) прийняті позначення:

Всі інші функції загальноприйняті .

         Повернемось до формул (4). Умови спряження (3) й крайова умова в точці  для визначення п’яти величин  та  дають неоднорідну алгебраїчну систему із п’яти рівнянь:

                    (13)

         У системі (13) беруть участь функції

та символ Кронекера

               Введемо до розгляду функції:

         

        Припустимо, що виконана умова однозначної розв’язності крайової задачі (1)-(3): для будь-якого ненульового вектора  визначник алгебраїчної системи (13) відмінний від нуля [5]

                                        (14)

       Визначимо головні розв’язки крайової задачі (1)-(3):

1)                      породжені неоднорідністю умов спряження функції Гріна

       (15)

      

      

2)                      породжені крайовою умовою в точці  функції Гріна

              (16)

3)                      породжені неоднорідністю системи функції впливу

    

    

                                        (17)

    

      

      

             У результаті однозначної розв’язності алгебраїчної системи (13) підстановки обчислених за правила Крамера величин  та  в рівності (4) та низки елементарних перетворень маємо єдиний розв’язок крайової задачі (1)-(3):

 

                                        (18)

Побудуємо тепер розв’язок крайової задачі (1)-(3) методом інтегрального перетворення, породженого на множині  гібридним диференціальним оператором (ГДО)

                     (19)

де - одинична функція Гевісайда [3].

Означення: Областю задання ГДО  назвемо множину G вектор-функцій  з такими властивостями: 1) вектор-функція  неперервна на множині ; 2) функції  задовольняють умови спряження

                                     (20)

3)                      функції задовольняють крайові умови

                                                               (21)

Оскільки ГДО  самоспряжений і на множині  має одну особливу точку , то його спектр дійсний, неперервний [6]. Можна вважати, що спектральний параметр  і йому відповідає дійсна спектральна вектор-функція

                                                       (22)

При цьому функції  повинні задовольняти відповідно диференціальні рівняння

         

                                         (23)

          

умови спряження (20) та крайові умови (21).

Отже, функції  повинні бути лінійною комбінацією фундаментальної системи розв’язків диференціальних рівнянь системи (23):

          

                                                                (24)

          

Умови спряження (20) та крайова умова в точці  для визначення шести величин  дають алгебраїчну систему з п’яти рівнянь:

         

                                      (25)

         

Алгебраїчна система (25) сумісна. Ії розв’язок будується стандартним способом [5]. Візьмемо  де  підлягає визначенню. Тоді останнє рівняння системи стає тотожністю. Для визначення  отримуємо алгебраїчну систему з двох рівнянь:

                                           (26)

Алгебраїчна система (26) має єдиний розв’язок:

                                  (27)

При відомих  для визначення величин  одержуємо алгебраїчну систему з двох рівнянь:

Звідси знаходимо, що

                                           (28)

Підставивши обчислені за формулами (27) та (28) величини  в рівності (24), маємо функції:

       

      

                                              (29)

       

Згідно формули (22)спектральна вектор-функція  визначена.

Введемо до розгляду числа

вагову функцію

та спектральну щільність

Наявність вагової функції , спектральної функції  та спектральної густини  дають можливість визначити пряме  та обернене  гібридне інтегральне перетворення (ГІП), породжене на множині  ГДО [6]:

                                                                  (30)

                                                       (31)

При цьому має місце основна тотожність ГІП ГДО

      

                                                                                 (32)

У формулі (32) прийняті позначення:

Побудовані правила (30),(31) та (32) складають математичний апарат для розв’язання крайової задачі (1)-(3) за відомою логічною схемою .

Запишемо систему (1) в матричній формі:

                                                                                  (33)

Інтегральний оператор  згідно правила (30) зобразимо у вигляді операторної матриці-рядка:

                             (34)

Застосуємо операторну матрицю-рядок (34) до системи (33) за правилом множення матриць. Внаслідок основної тотожності (32) одержуємо алгебраїчне рівняння:

.

Звідси знаходимо, що функція

                                                            (35)

Інтегральний оператор  згідно правила (31) як обернений до (34) зобразимо у вигляді операторної матриці-стовпця:

                                                                      (36)

Застосуємо операторну матрицю-стовпець (36) за правилами множення матриць до матриці-елемента , де функція  визначена формулою (35). У результаті низки елементарних перетворень маємо єдиний розв’язок крайової задачі (1) – (3):

                             (37)

Порівнюючи розв’язки (18) та (37) в силу теореми єдиності  одержуємо наступні формули обчислення невласних інтегралів:

                                  (38)

                                (39)

                            (40)

                                   (41)

Функції Гріна  визначені формулами (15), функції Гріна  визначені формулами (16), а функції впливу  – формулами (17).

Зауваження: Якщо  то , 

якщо  то  якщо  то

  Підсумком виконаного в роботі дослідження є твердження.

Основна теорема. Якщо вектор-функція  неперервна на множині , функції задовольняють  крайові умови

 

та умови спряження (3) і виконується умова (14) однозначної розв’язності крайової задачі (1)-(3), то справджується формули (38)-(41) обчислення поліпараметричних невласних інтегралів за власними елементами ГДО , визначеного рівністю (19).

 

Список використаних джерел:

 

1.                      Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. – М.: Физматгиз, 1959. – 468с.

2.                      Конет І.М., Ленюк М.П. Інтегральні перетворення типу Мелера - Фока. – Чернівці: Прут, 2002. – 248с.

3.                      Шилов Г.Е. Математический анализ. Второй специальный курс. – М.: Наука, 1965. – 328с.

4.                      Ленюк М.П. Обчислення поліпараметричних невласних інтегралів за власними елементами гібридних диференціальних операторів другого порядку. Том VI. – Чернівці: Прут, 2010. – 404с.

5.                      Курош А.Г. Курс высшей алгебры. – М.: Наука, 1971. – 432с.

6.                      Ленюк М.П., Шинкарик М.І. Гібридні інтегральні перетворення (Фур’є, Бесселя, Лежандра). Частина 1. – Тернопіль: Економічна думка, 2004. – 368с.