Шнайдер І. М.

Науковий керівник – Довгунь А.Я.

Буковинська державна фінансова академія

Знаходження повного граничного доходу від функціонування економічної системи за допомогою ланцюгів Маркова.

Розглянемо економічну систему, яка може знаходитися в одному з несумісних станів ξ = і кінцевого простору можливих станів . В процесі свого функціонування система в дискретні моменти часу, які будемо називати кроками і позначатимемо як , переходить з одного стану в стан .

Зміна станів проходить за наступним законом: в початковий момент часу () ймовірність набуття системою початкових станів дорівнює , а потім на будь-якому кроці n умовна ймовірність переходу системи зі стану , в стан дорівнює . Відмітимо, що ця ймовірність не залежить ні від станів системи в попередні моменти часу (властивість марковості), ні від поточного часу (властивість однорідності). [1]

Означення 1. Випадковий процес зміни станів системи називаються простим однорідним ланцюгом Маркова з кінцевим числом станів та дискретним часом, якщо для всіх і виконується марківська властивість

(1)

при умові

.

Ймовірності та ймовірності , , утворюють так званий стохастичний вектор, який задовольняє наступні умови:

, (2)

Означення 2. Матриця розмірності називається матрицею ймовірностей переходу марківського випадкового процесу .

З рівності (1) маємо:

а) для будь-якого n та всіх виконується рівність

, (3)

тобто розподіл ймовірностей станів дорівнює добутку ймовірностей початкового стану на відповідні ймовірності переходу.

б) для всіх і всіх виконується рівність

, (4)

яка буде трактуватися наступним чином: - стан системи в теперішній момент часу, – стан системи в минулому, – стан системи в майбутньому і при фіксованому теперішньому стані системи, минулі і майбутні стани є незалежними. [1]

Розглянемо економічну систему (фірму, підприємство, виробництво тощо) з кінцевим числом станів , функціонування якої моделюється ланцюгом Маркова з матрицею ймовірностей переходу . При переході зі стану i в стан j система отримує однокроковий дохід (можливо й від'ємний) , що не залежить від номеру кроку. Сукупність всіх однокрокових доходів утворює квадратну матрицю однокрокових доходів.

Дохід, який може отримати некерована система за N кроків є випадковою величиною з розподілом ймовірностей, що визначаються ймовірнісними зв’язками ланцюга Маркова. [2]

Означення 3. Математичне сподівання цієї випадкової величини називається повним очікуваним доходом за n кроків. [3]

Нехай в деякий момент часу система знаходиться в стані і та вона повинна функціонувати n кроків. Позначимо повне очікування доходу системи за n кроків. Цей дохід може бути обчислений наступним способом. На першому кроці система переходить в стан j з ймовірністю і при цьому отримує дохід . З цього стану система здійснює решта n – 1 крок і отримує повний очікуваний дохід . Далі, повний очікуваний дохід за n кроків дорівнює , при умові, що перший крок перевів систему з стану і в стан j. [4]

За формулою повного математичного сподівання отримаємо наступне рекурентне співвідношення:

(5)

або

, (6)

де , – продажна вартість системи, якщо вона закінчує функціонування в стані j, – середній однокроковий дохід, отриманий системою при переході зі стану і. [3]

Позначивши – вектор-стовпець повного очікувано-го доходу, – вектор-стовпець середнього однокрокового доходу, запишемо формулу (6) у векторній формі.

. (7)

Враховуючи переоцінку майбутнього доходу

,

отримаємо

, (8)

де - коефіцієнт переоцінки майбутніх доходів, . [4]

Якщо використати формулу (8) n-разів при , отримаємо

. (9)

Знайдемо граничний дохід

.

Нехай , тоді , при . Звідси отримаємо, що

є скінченою величиною.

Нехай , тоді при , де - матриця, рядки якої є сталими. Отже .

Таким чином граничний дохід при набуде наступного вигляду:

(10)

Список використаних джерел

1. Гихман И.И., Скороход А.В., Ядренко М.И. Теория вероятностей и математическая статистика// Гихман И.И., Скороход А.В., Ядренко М.И. // - Киев: Наукова думка, 1978. – 583 с.

2. Соколов Г.А., Чистякова Н.А. Управляемые цепи Маркова в економике// Соколов Г.А., Чистякова Н.А// Теория вероятностей. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005.–248 с.

3. Таха Х. Введение в исследование операций // Таха Х. - Т. 1, 2. – М.: Мир, 1990. – 274 с.

4. Ширяев А.Н. Вероятность // Ширяев А.Н. – М.: Мир, 1989. – 378 с.