Математика/1.Дифференциальные и интегральные уравне­ния

 

Д.ф.-м.н. Городецький В. В., к.ф.-м.н. Мартинюк О. В.

Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича,Україна

 

Задача Коші для еволюційних рівнянь

із псевдодиференціальними операторами

Еволюційні рівняння параболічного типу з оператором Бесселя відносяться до рівнянь з виродженим за просторовими змінними оператором (такі рівняння вироджуються на межі області) і за внутрішніми властивостями вони близькі до рівномірно параболічних рівнянь. Оскільки оператор Бесселя , , можна визначити за допомогою співвідношення , де ,  – пряме та обернене перетворення Бесселя,  – елемент простору, в якому вказане перетворення визначене, то еволюційні рівняння з оператором Бесселя природно віднести до псевдодиференціальних рівнянь. До такого ж класу рівнянь слід віднести і еволюційні рівняння з псевдо-Бесселевим оператором , де  є однорідним, негладким у точці  символом. Для еволюційних рівнянь з псевдо-Бесселевими операторами з гладкими символами задача Коші вивчалася в роботах Я.І. Житомирського [1], М.І. Матійчука, В.В. Крехівського [2], С.Д. Івасишена, В.П. Лавренчука [3], В.В. Городецького [4], О.М. Ленюка, Я.М. Дріня [5] та ін. Отримано вагомі результати стосовно коректності задачі Коші та властивостей розв’язків.

У той же час еволюційні рівняння з псевдо-Бесселевими операторами, побудованими за однорідними, негладкими у фіксованій точці символами на теперішній час досліджені не достатньо повно. У даній роботі будуються нові класи псевдодиференціальних операторів, які містять у собі клас псевдо-Бесселевих операторів, побудованих за сталими символами. Розвивається теорія задачі Коші для еволюційних рівнянь з такими операторами та початковими даними з просторів узагальнених функцій типу розподілів.

 1. Простори основних та узагальнених функцій. Нехай , :  – неперервні, парні на  функції, диференційовні, монотонно зростаючі й необмежені на , , причому функція  опукла (донизу) на , тобто: а) : ; б)  : ; в)  : . Припускаємо, що виконуються наступні умови:   : , , , , , де  та  – фіксовані параметри.

Символом  позначимо сукупність усіх неперервних, парних на  функцій : , нескінченно диференційовних на , для яких

(якщо , то сума відсутня, якщо , то  і т.д.; якщо , то вказана нерівність справджується для всіх ).

Нехай  – фіксоване число з множини . На функціях з простору  визначене перетворення Бесселя  [6]:

 де  – нормована функція Бесселя;  – парна на  функція і .

Нехай . Введемо в  структуру зліченно-нормованого простору за допомогою норм 

,

де , , ,  – фіксований параметр. Збіжність у просторі  – це збіжність за кожною нормою , .

          Перетворення Бесселя неперервно відображає  на простір .

У просторі  визначений і неперервний оператор узагальненого зсуву аргументу , який відповідає оператору Бесселя [6].

Символом  позначатимемо простір усіх лінійних неперервних функціоналів над відповідним простором основних функцій зі слабкою збіжністю, а його елементи називатимемо узагальненими функціями.

Оскільки в просторі  визначена операція узагальненого зсуву аргументу, то згортку узагальненої функції  з основною функцією задамо формулою , , при цьому  для довільної основної функції .

Нехай . Якщо , , і із співвідношення  при  за топологією простору  випливає, що  при  за топологією простору , то функціонал  називається згортувачем у просторі .

Перетворення Бесселя узагальненої функції  визначимо за допомогою співвідношення , , . З властивостей лінійності і неперервності функціоналу  та перетворення Бесселя випливає лінійність і неперервність функціоналу , заданого на просторі . Отже, .

2. Задача Коші. Нехай :  – неперервна, парна на  функція, однорідна порядку , нескінченно диференційовна на , похідні якої задовольняють умову:

                         (1)

З (1) випливає, що функція  є мультиплікатором у просторі . У зв’язку з цим розглянемо оператор : , який визначимо за допомогою співвідношення ,  (тут  – обернене перетворення Бесселя, яке неперервно відображає  на ). Із властивостей перетворення Бесселя (прямого й оберненого) випливає, що  – лінійний і неперервний псевдо-Бесселевий оператор.

Розглянемо еволюційне рівняння з оператором  вигляду

                                     (2)

де :  – неперервна функція, інтегровна на .

          Під розв’язком рівняння (2) розумітимемо функцію , яка задовольняє це рівняння.

Фундаментальним розв’язком рівняння (2) є функція , , де .

Символом  позначимо сукупність узагальнених функцій з простору , які є згортувачами в просторі .

Нехай . Тоді 1) у просторі  справджується граничне співвідношення , ; 2) функція , , є розв’язком рівняння (2). Тоді задачу Коші для рівняння (2) можна ставити так: знайти розв’язок  рівняння (2), який задовольняє початкову умову

                                            (3)

в тому сенсі, що  при  у просторі .

Теорема 3.  Задача Коші (2), (3) є коректно розв’язною. Розв’язок подається у вигляді згортки: , , де  – фундаментальний розв’язок рівняння (2).

 

Література:

1.     Житомирский Я. И. Задача Коши для систем линейных уравнений в частных производных с дифференциальным оператором Бесселя // Матем. сб. – 1955. – Т. 36, №2. – С. 299-310.

2.     Крехивский В. В., Матийчук М. И. Фундаментальные решения и задача Коши для линейных параболических систем с оператором Бесселя // Докл. АН СССР. – 1968. – Т. 181, №6. – С. 1320-1323.

3.     Ивасишен С. Д., Лавренчук В. П. Об интегральном представлении решений параболической системы с оператором Бесселя // Нелинейные граничные задачи. – 1992. – Вып. 4. – С. 19-25.

4.     Городецький В. В., Ленюк О. М. Еволюційні рівняння з псевдо-Бесселевими операторами // Доп. НАН України. – 2007. – №8. – С.11-15.

5.     Дрінь Я. М. Вивчення одного класу параболічних псевдодиференціальних операторів у просторах гельдерових функцій // Доп. АН УРСР. Сер. А. – 1974. – № 1. – С. 19-21.

6.     Левитан Б. И. Разложение по функциям Бесселя в ряды и интегралы Фурье // Успехи мат. наук. – 1951. – Т. 6, вып. 2. – С. 102-143.