К.ф.м.н. Сериков В.И., к.ф.м.н. Воронин С.В., Воронина О.А.

Липецкий государственный технический университет, Россия

Квантовые решения обобщенного уравнения Бюргерса

Как известно [1], обобщённое уравнение Бюргерса приводит к уравнениям квантовой теории: уравнению Шрёдингера и модифицированному уравнению Клейна – Гордона. В связи с этим рассмотрение конкретной связи решений уравнения Шредингера и решений обобщённого уравнения Бюргерса представляется актуальным. Настоящая работа посвящена рассмотрению таких решений для одномерного движения. Рассмотрение проводится как для решений, отвечающих уравнению Шрёдингера, так и для решений, отвечающих дискретному спектру.

В работе [1] показано, что обобщённое уравнение Бюргерса имеет вид

, (1)

где – имеет смысл безразмерной скорости, с – релятивистская константа, а α,ε – константы, ε – безразмерная константа нелинейности. Это уравнение удобно представить в форме, в которой используются безразмерные переменные , и – характерная длина, тогда имеем

. (2)

Здесь – безразмерный коэффициент нелинейности. Теперь, используя обобщённую замену Хопфа – Коула

, (3)

приведём уравнение (2) к виду

. (4)

Это уравнение такого же типа, как и уравнение Шрёдингера, с тем лишь отличием, что в нём используются безразмерные переменные τ, θ. Для того, чтобы уравнение (4) полностью совпадало с уравнением Шрёдингера, необходимо положить . Рассмотрим два известных решения такого уравнения[2]:

, (5)

. (6)

Решение отвечает плоской волне и, после подстановки в формулу (3), приводит к результату , который является тривиальным решением обобщённого уравнения Бюргерса. Решение отвечает волновому пакету, который при имеет вид

(7)

и описывает частицу, локализованную в области , нормировочная константа равна , величина определяется импульсом частицы . Вычисляя функцию с помощью подстановки (3), имеем

. (8)

Представляет интерес также рассмотрение решения уравнения (2), которое представляет собой обобщение решения Р.В. Хохлова [3]:

. (9)

Соответствующая функция , которая является решением уравнения Шрёдингера (4), имеет вид

, (10)

где . Окончательно, функцию можно записать в форме:

, (10а)

где А – нормировочная постоянная.

Рассмотрим далее решения уравнения Шрёдингера для частицы в потенциальном поле. Обобщённое уравнение Бюргерса, соответствующее уравнению Шрёдингера в потенциальном поле, имеет вид

. (11)

В том случае, когда потенциальная энергия не зависит от времени, уравнение (11) с помощью подстановки (3) приводит к стационарному уравнению Шрёдингера, решения которого имеют вид .

Подстановка Хопфа-Коула в этом случае приводит к функциям вида

, (12)

а уравнение (11) можно записать в форме

. (13)

Первый интеграл уравнения (13) приводит к уравнению вида

. (14)

Поскольку определена с точностью до произвольной постоянной, то константу в правой части (14) можно положить равной нулю. Используя в уравнении (14) подстановку (12), приходим к стационарному уравнению Шрёдингера.

Рассмотрим, далее, задачу о движении плоской волны в поле потенциальной ступеньки

, (15)

для которой наиболее существенное возрастание потенциала происходит на отрезке -2а < x < 2a. В уравнении (14) с потенциальной энергией (15) целесообразно произвести замену переменной:

. (16)

Тогда, с учетом того, что и , уравнение (14) можно представить в виде

. (17)

Уравнение Шрёдингера в этом случае можно представить в форме [2]

, (18)

где введены обозначения , (Е – полная энергия), . Решение уравнения (18) имеет вид

. (19)

Здесь , С – константа, – гипергеометрическая функция, , . Тогда, подставляя (19) в (12), имеем

. (20)

С учётом свойств гипергеометрической функции, получаем

(21)

.

Следует также отметить, что нами получен следующий результат: уравнение

(22)

с помощью преобразований (12), (16) и (19) приводится к гипергеометрическому уравнению Гаусса

. (23)

Перейдём теперь к рассмотрению задачи с дискретным спектром на примере квантового гармонического осциллятора. В случае гармонического осциллятора потенциальная энергия имеет вид , и решения стационарного уравнения Шрёдингера с собственными значениями энергии , имеют вид [2]:

, , (24)

где , , - полином Эрмита.

Используя теперь решение (24) в формуле (12), представим решение уравнения (13) в форме

. (25)

Таким образом, решения уравнения Шрёдингера позволяют в определённых случаях построить решения обобщённого уравнения Бюргерса, также как и определённые решения обобщенного уравнения Бюргерса позволяют получить решения уравнения Шрёдингера.

Литература.

1. Сериков, В.И. Связь обобщённого уравнения Бюргерса с уравнениями квантовой теории. [Текст]: Сериков В.И., Воронин С.В., Воронина О.А., Материалы VII международной научно – практической конференции. Т.18 – Найновите постижения на европейската наука. – 2012. София, 17 – 25 июня 2012 г.

2. Флюгге, З. Задачи по квантовой механике [Текст]: учебное пособие, перевод с англ., Т.1 / З.Флюгге. – М.: Мир 1974. (341 с., ил.)

3. Виноградова, М.Б. Теория волн [Текст]: учебное пособие / Виноградова М.Б., Руденко О.В., Сухоруков А.П. – М.: Наука 1979. (384 с., ил.)