*     
Физика/1.Теоретическая физика
Д.т.н. Розов А. Л.
Санкт-Петербургский Государственный Политехнический Университет, Россия 
Уравнения электродинамики Максвелла для медленно движущихся сред

 

В настоящее время принято считать, что теория Максвелла в рамках классической механики позволяет получать уравнения электродинамики только для  неподвижных сред. Для описания электромагнитных явлений в движущейся среде применяются уравнения Минковского, представляющие собой уравнения Максвелла для неподвижных сред, записанные с использованием принципа относительности  (аналогичные уравнения получаются из электронной теории Лоренца) (см., например, [1,2]).

Электромагнитные явления на практике, как правило, используются в условиях медленно движущихся сред (скорости значительно меньше релятивистских) и находятся в условиях применимости классической механики. Возникает задача описания этих явлений методами электродинамики Максвелла.

Основу теории Максвелла составляют два закона, полученные  экспериментально как для неподвижных, так и подвижных сред (см., например, [3]):  

- закон индукции Фарадея

;                                                                                   (1) - закон Ампера

,                                                                                         (2)

где и  векторы электрического и магнитного напряжения, магнитной индукции и плотности тока, соответственно;  и  нормальные компоненты векторов  и  к произвольной поверхности , ограниченной замкнутым контуром  и  время.

Интегрируя обе части (1) в лабораторной системе координат, относительно которой рассматривается движение, и применяя теорему Стокса, получаем

,                                                                           (3)

где  вектор скорости контура.

Уравнение (3) описывает все случаи электромагнитной индукции, открытые Фарадеем.

Вводя векторный  и скалярный  потенциалы, находим из (3)

.                                                                                (4)

Запишем (4) в виде

,                                                                                        (5)

где  напряжение электрического поля, индуцированного изменением во времени магнитного поля

,                                                                                      (6)

и  напряжение электрического поля, индуцированного движением контура

.                                                                                            (7)

Фарадей, исследуя феномен индукции, использовал проводники. Как показали эксперименты Вильсона [4], в случае диэлектриков напряжение электрического поля, индуцированного движением контура, равно , где

,                                                                                                  (8)

             диэлектрическая константа.

Таким образом, для общего случая проводников и диэлектриков (5) записывается в виде

.                                                                                       (9)

Дифференциальная форма (9), являющаяся обобщением (3), имеет вид

.                                                                      (10)

Уравнение (10) описывает все известные случаи электромагнитной индукции.

Интегрируя (2) и учитывая различные виды токов [4-7], получаем

,                                                           (11)

где ,  и  вектора электрической индукции, плотности тока проводимости и плотности свободно движущихся зарядов, соответственно.

Последние два члена правой части (11), отсутствовавшие у Максвелла, учитывают токи, исследованные Роуландом и Рентгеном и Эйхенвальдом.       

В рамках теории Максвелла к уравнениям (10-11) следует добавить

,                                                                            (12)

а также уравнения состояния (материальные уравнения), которые для тел с линейными параметрами имеют вид [8]

,                                                                  (13)

где  электрическая константа,  и σ абсолютная проницаемость и проводимость тела, соответственно.

Уравнения (10-13) составляют уравнения Максвелла электродинамики медленно движущихся сред. Имеется 17 уравнений для 16 неизвестных. Таким образом, одно из уравнений является дополнительным ограничивающим условием.

Сравнение теории с известными экспериментальными данными

Рассмотрим скорость электромагнитных плоских волн в медленно движущейся  немагнитной среде.

Уравнения Максвелла для медленно движущейся среды (10-13) в отсутствие свободных зарядов и токов принимают вид

.                                                             (14)

Так как нас интересуют только члены, линейные относительно скорости, то для плоских волн можно положить

,                                                                     (15)

где  скорость света в неподвижном теле,  показатель преломления тела.

С учётом (14)(3) имеем

.                                   (16)

Подставляя (15) и (16) в (14)(1)-(14)(2) и используя (14)(4), получаем

.                        (17)

Вычисляя ротор первого уравнения (17) и используя второе уравнение (17), приходим к уравнению

.                                (18)

Это волновое уравнение соответствует скорости распространения

,                                                      (19)

согласующейся с известными экспериментальными данными [5,6,9].

         Сравнение уравнений Максвелла и Минковского

Формально различие между предложенными уравнениями Максвелла и  уравнениями Минковского состоит в форме представления закона индукции. В уравнениях Максвелла этот закон представлен  уравнением (3) (для проводников), а в уравнениях Минковского (в приближении первого порядка скорости) – уравнениями (20) - (21) [3,7,10]

,                                                                                          (20)

,                                                                                         (21)

   где  и  векторы напряжения электрического поля в стационарной и движущейся средах, соответственно;  и  те же, что и в уравнениях (1) и (3).

Уравнение (20) является общепринятой дифференциальной формой закона индукции Фарадея. Но это уравнение неполное, так как не описывает индукцию вследствие движения (открытую Фарадеем).

 Подстановка уравнения (21) в остальные уравнения Минковского преобразует производные от  в производные от . В результате уравнение (20) трансформируется в уравнение (3), но в остальных уравнениях Минковского образовавшиеся производные от   имеют нефизичную природу и могут вызвать погрешности при проведении расчётов электромагнитного поля.

Заключение

Выведены уравнения электродинамики медленно движущихся сред на основе теории Максвелла в рамках классической механики, согласующиеся с известными экспериментальными данными.  Проведено сравнение полученных уравнений Максвелла и используемых в настоящее время  уравнений Минковского. Показано, что различие заключается в форме представления закона индукции. Обосновано преимущество предложенных уравнений.

Литература

[1] Болотовский Б. М., Столяров С. Н. // Современное состояние электродинамики движущихся сред. Успехи физических наук. 1974. Т. 114. Вып. 4. С. 569.

[2]  MacCall M., Censor M. // Am. J. Phys. 2007. Vol. 75. № 12. P. 1134.

[3] Sommerfeld A. Electrodynamik Leipzig: Akademische Verlagsgesellchaft, 1961. P.12, 264.

[4] Wilson H. A. // Philos. Trans. R. Soc. London, 1904. Ser. A 204. P. 121.

[5] Becker R. Electronentheorie. Leipzig, 1933. Sections 45, 46.

[6] Panofsky W. and Phillips M. Classical Electricity and Magnetism. Cambridge-Mass.: Addison-Wesley, 1955. P. 117, 174.

[7] Pauli W. Theory of relativity. London: Pergamon, 1958. P.111, 99.

[8] Maxwell J. C. A Treatise on Electricity and Magnetism. New York: Dover, 1954. Section 619.

[9] Tonnelat M.-A. The Principles of Electromagnetic Theory and of Relativity. Dordrecht-Holland: Reidel, 1966. P.115.

[10] Тамм И. Е. Основы теории электричества. М.: “ Наука“, 1976. C. 532.