С. І. Владов, В. О. Мосьпан, к .т .н. доц., О. О. Юрко, к. т. н., доц.

Кременчуцький національний університет імені Михайла Остроградського, м. Кременчук, Україна

Визначення вектора радикального переміщення за схемою циліндричної оболонки кровоносної судини при симетричному навантаженні

Кровоносна судина являє собою круговий тонкостінний циліндр із внутрішнім радіусом r і постійною товщиною стінки h, зображений на рис. 1. Кут нахилу дотичної до утворюючої серединної поверхні υ пов'язаний з переміщенням u відношенням:

(1)

Виділимо елемент циліндричної оболонки з розмірами h, dx, dS_φ (рис. 2, а). До граней цього елемента прикладені сили та моменти Т_х, Т_φ, М_х, М_φ (рис. 2, б) і зовнішні сили – тиск Р = Р(х). В осьових перерізах за властивостями симетрії внутрішні сили залишаються однаковими, а при переходи грані з координатою х до грані з координатою х + dx одержують збільшення. Тоді три умови статистичної рівноваги не звертаються в нуль:

dT_x = 0;

(2)

(3)

Осьова сила Т_х = const визначається навантаженням циліндра на торцях. Відносне подовження відрізка CD (рис. 3), що розташоване на відстані z від серединної поверхні, складається із двох складових: подовження ε серединної поверхні та подовження, обумовленого вигином утворюючої циліндра [1, стор. 380–384]:

Рисунок 1 – Схема циліндричної оболонки

Підставивши вирази для ε_xz і ε_φz у вирази напруг σ_x, σ_φ, складені відповідно до закону Гука, одержимо:

(4)

де Е – модуль нормальної пружності за напрямом (модуль Юнга), ν = 0,5 – коефіцієнт Пуассона [2].

Розглянемо елемент циліндричної оболонки з розмірами dxdS_φ (див. рис. 2). З урахуванням умови статистичної еквівалентності вирази для одиничних нормальних сил Т_х, Т_φ і одиничних згинальних моментів М_х, М_φ приймають вид:

(5)

З системи рівнянь (5), враховуючи (1) і (4), виводи залежностей внутрішніх зусиль Т_х, Т_φ, М_х, М_φ від радіального переміщення u представляються у вигляді:

(6)

де D – циліндрична твердість [1, стор. 133].

Рисунок 2 – Схеми розподілу внутрішніх сил на майданчиках циліндричної оболонки: а – розподіл напруг; б – розподіл внутрішніх сил

Підставивши в друге рівняння системи (6) вираз для ε, у рівняння (2) і (3) – вираз для Q, а потім вираз для М_х, одержимо систему рівнянь для знаходження радіального переміщення u:

(8)

(9)

Розв’язок рівняння (9) має загальний вигляд: u = u₀ + u^*, де u₀ – розв’язок характеристичного рівняння, u^* – частинний розв’язок, який є залежним від закону розподілу Р уздовж утворюючої.

Рисунок 3 – Схема подовження відрізка CD, розташованого на відстані z від серединної поверхні циліндричної оболонки

Розв’язок характеристичного рівняння з урахуванням геометричних параметрів кровоносних судин [3] має вигляд:

_{Частинний розв’язок знаходиться із рівняння (9) у вигляді:}

_{оскільки закон зміни тиску уздовж утворюючої оболонки при пульсації крові представляється виразом [1, стор. 134]:}

(10)

де А₁, А₂, А₃ – довільні постійні, які визначаються з розв'язку гемодинамічної задачі. Знаходження коефіцієнтів А₁, А₂, А₃ рівняння (10) здійснюються зі співвідношення розмірностей членів рівняння. Оскільки в лівій частині рівняння знаходиться параметр тиску, який визначається у Па (або кг / м ∙ с²), значить і кожний доданок, який знаходиться в правій частині рівняння, повинен бути представлений в даній величині. Оскільки була встановлена залежність розподілу тиску від погонних параметрів довгої лінії (у цьому випадку розглядається знаходження розподілу тиску в часі через добуток вхідного сигналу пульсової хвилі та передавальної функції довгої лінії) [4] значить і розподіл тиску уздовж утворюючої логічно виразити через відомі R₀ і L₀ параметри, опираючись на відповідність розмірностей величин кожного члена рівняння. Таким чином:

Значить, рівняння (10) приймає вигляд:

Для знаходження частинного розв’язку рівняння (10) знайдемо похідні, підставимо значення функції та похідних у рівняння (10) та отримаємо кінцеву систему рівнянь:

(11)

Розв’язавши систему рівнянь (11), отримаємо:

Знаходимо постійні інтегрування С₁, С₂, С₃, С₄ з початкової умови. Оскільки в початковий момент часу деформація не відбувається, значить можна затверджувати, що початкові умови приймають нульові значення, тобто:

Отримаємо систему із чотирьох рівнянь:

(12)

де

Розв’язавши систему рівнянь (12), знаходимо постійні інтегрування С₁, С₂, С₃, С₄:

(13)

(14)

(15)

(16)

Висновки

1. Визначено вектор радикального переміщення за схемою циліндричної оболонки кровоносної судини при симетричному навантаженні, який в подальшому застосовується для опису деформованого стану стінки кровоносних судин.

2. Вектор радикального переміщення залежить від закону зміни тиску уздовж утворюючої оболонки при пульсації крові, який, в свою чергу – від погонних параметрів моделі системи кровообігу людини у вигляді неоднорідної узгодженої довгої лінії [4].

Література

1. Бегун П.И. Моделирование в биомеханике. / Афонин П.Н. – М.: Высшая школа, 2004. – 391 c.

2. Механика кровообращения / [К. Каро, Т. Педли, Р. Шротер, У. Сид.]. –М.: Мир, 1981. – С. 116–126.

3. Есаков С.А. Возрастная анатомия и физиология: курс лекций. – Ижевск: ГОУВПО "УдГУ", Биологическо-химический факультет, Кафедра анатомии и физиологии человека и животных, 2010. – 194 с.

4. С.І. Владов, В.О. Мосьпан. Модель системи кровообігу людини у вигляді неоднорідної узгодженої довгої лінії з розподіленими параметрами // Вісник Кременчуцького національного університету імені Михайла Остроградського. – Кременчук: КрНУ, 2012. – Вип. 2/2012 (73). – С. 56–59.