К.ф.-м.н. Ележанова Ш.К.

Атырауский государственный университет им. Х.Досмухамедова, Казахстан

ЭЛЕМЕНТЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ РАСЩЕПЛЕНИЯ ПРИ  РЕШЕНИИ ЗАДАЧ ПЕРЕНОСА  И  ДИФФУЗИИ  ВЕЩЕСТВА

 

Развитие вычислительных машин и численных методов открыли большие перспективы использования конечно элементного анализа, использование методов конечных разностей, методы расщепления и т.д. при исследовании проблем переноса и диффузии субстанции в атмосфере. Известно, что математические модели таких задач приводится к неоднородным дифференциальным уравнениям в частных производных второго порядка, удовлетворяющие однородным граничным условиям. Приведения сложных задач к более простым возможна в тех случаях, когда исходный положительно полуопределенный оператор представляется в виде суммы положительно полуопределенных простейших операторов. Такие методы называется методами расщепления. Первоначальное развитие методы расщепления нестационарных задач получили в работах Дугласа, Писсмана, Рэчфорда, а затем были развиты в исследованиях К. А. Багриновского и С.К. Годунова,  Н.Н. Яненко, А.А Самарского, Г.И. Марчука [12, 36, 38] и др. В настоящем времени методы расщепления стал мощным математическим аппаратом решения весьма сложных нестационарных задач математической физики. Надо отметить, что теория методов расщепления особенно полно разработана для случая, когда исходный оператор представлен в виде суммы двух более простых.

   Рассмотрим эволюционную задачу

                             в      при                           (1.1)

где оператор      представим в виде

                                                                                                  (1.2)

при условии, что  ,                                                                 (1.3)

Предположим, что решение задачи (1.1) обладает необходимой гладкостью. Переходим к рассмотрению методов двухкомпонентного расщепления, предполагая, что задача (1.1) уже редуцирована к разностному виду и, следовательно, операторы ,  и  являются матрицами. Пусть  . Рассмотрим аппроксимации этих матриц на интервале  в форме   предполагая, что элементы матриц ,  имеют достаточную гладкость. Выпишем разностную систему уравнений, предположенную Н.Н.Яненко и состоящую из последовательного решения простейших схем Кранка-Николсона:

                                                                (1.4.)

Система разностных уравнений (1.4.) после исключения вспомогательной функции  может быть приведена к одному уравнению

                                                                                             (1.5.)

 где                                    (1.6.)

Разложим оператор  по степеням , предполагая, что . В результате несложных преобразований получим

                                          (1.7.)

Если операторы  коммутируют, т.е. , разложение (1.7.) можно записать в виде 

                                                                       (1.8.)

Таким образом, если  , то при достаточной гладкости элементов матриц и решения  задачи (1.1.)-(1.3.) разностная схема (1.4.) абсолютно устойчива (это следует из справедливого, согласно лемме Келлога, неравенства ) и аппроксимирует исходное уравнение (1.1.) со вторым порядком по  в случае, если  и  коммутативны, и с первым порядком, если они не коммутативны. Теперь будем аппроксимировать операторы  и  не на интервале , как это было в (1.4.), а на интервале , положив .

Рассмотрим следующие две системы разностных уравнений:

                                                                (1.9.)                                        

                                                               (1.10.)

Цикл вычислений состоит именно в поочередном применении разностных схем (1.9.), (1.10.). Аналогично предыдущему, можно показать, что на полном цикле вычислений с помощью (1.9.) и (1.10.) будем иметь    (1.11.)                  

 где                                (1.12.)

Если оператор  сравнить с оператором шага схемы Кранка-Николсона

                                                                  (1.13.)          

то можно установить, что с точностью до величины  оператор шага  для двуциклической схемы расщепления совпадает с оператором шага схемы Кранка-Николсона, примененной к удвоенному интервалу по времени, независимо от того, коммутативны операторы  или нет. Таким образом, этот прием существенно снижает ограничение о коммутативности операторов.

Переходим к обсуждению вопроса о счетной устойчивости метода. Рассмотрим неоднородную задачу и нахождение ее решения с помощью двуциклического полного расщепления. С этой целью рассмотрим систему разностных уравнений вида (1.9.), (1.10.), записанных в более удобной форме:

                                                       (1.14.)

где . Разрешая эти уравнения относительно , получим

                                                                         (1.15.)

где                                                                                  (1.16.)

                                                           (1.17.)

С помощью разложения по степеням малого параметра  приведем (1.17.) к виду                          (1.18.)

затем преобразуем к виду

                   ,                 (1.19.)            

и исключим . Для этого воспользуемся разложением решения в ряд Тейлора в окрестности точки . С точностью до  имеем

                                                                       (1.20.)                                               

Производную  исключим с помощью равенства

                                                                            (1.21.)                                               

Подставив (1.21.) в (1.20.), получим   откуда

                                                                 (1.22.)                                                 

Подставляя теперь (1.22.) в (1.21.) находим    (1.23.)

Очевидно, что уравнение (1.23.) аппроксимирует исходное уравнение (1.1.) на интервале  со вторым порядком точности по . Таким образом, найдена разностная аппроксимация неоднородного эволюционного уравнения второго порядка с помощью двуциклического метода.

Устойчивость метода доказывается в энергетической норме элементарно. В самом деле, оценим  из (1.15.) по норме:

                                                                (1.24.)

Учитывая, что , а значит, , имеем

                                                                               (1.25.)

С помощью рекуррентного соотношения (1.15.) получим

                                                                                        (1.26.)

где . Из соотношения (1.26.) следует счетная устойчивость схемы на любом конечном временном интервале. Систему уравнений (1.14.) можно записать также в следующей эквивалентной форме:

                                                             (1.27.)

Исключив неизвестные с дробными индексами, приходим к разрешенному уравнению   (1.28.), которое совпадает с (1.15.). В некоторых случаях запись уравнений в форме (1.27.) более предпочтительна, чем в форме (1.14.). Итак, если матрицы , , то при достаточной гладкости решения , функции  и элементов матриц , , система разностных уравнений (1.14.) абсолютно устойчива на интервале  и аппроксимирует исходное уравнение со вторым порядком по .

 

Литература:

1        Марчук Г.И. Математическое моделирование в проблеме окружающей среды. –М.: Наука, 1982. –320 с.

2        Пененко В.В., Алоян А.Е. Модели и методы для охраны окружающей среды. –Н.: Наука, 1985. –274 с.

3        Ковеня В.М., Яненко Н.Н. Метод расщепления в задачах газовой динамики. –Новосибирск: Наука, 1981. –С. 95-99.

4        Марчук Г.И. Численные методы. –М.: Наука, 1988. –214 с.

5        Мардонов Б.М., Муликов Р.Р, Кушкенбаев М.У., Ележанова Ш.К. (Мухамбетова Ш.К.) Исследование процессов распространения и трансформации загрязняющихся веществ в нижнем слое атмосферы и почвенной среде. Монография. –Атырау: Атырауский институт нефти и газа, 2005. –160 с.