Математика/1. Дифференциальные и интегральные уравнения

к.п.н Панішева О.В.

Луганський національний університет імені Тараса Шевченка, Україна

Практична спрямованість курсу диференційні рівняння

Курс диференційні рівняння з’явився у навчальних планах студентів спеціальності «Інформатика» порівняно недавно. Тому виникає завдання розробки якісного навчально-методичного забезпечення цього курсу, укладеного відповідно до сучасних вимог підготовки професіоналів у ВНЗ.

Мета курсу – оволодіння методами дослідження та розв’язання диференціальних рівнянь, їх основними застосуваннями у фізиці, біології, економіці та інших природничих та соціальних науках.

Вивчення диференціальних та інтегральних рівнянь має сприяти формуванню у студентів сучасної математичної культури та продемонструвати використання математичних методів для розв’язку прикладних задач.

Будь-які рівняння вчаться розв’язувати задля того, щоб з їх допомогою описувати явища реальності. Недарма рівняння називають мовою алгебри, мовою, якою розмовляє природа. Тому принципи професійної спрямованості та практичної значущості є провідними при відборі змістовного матеріалу для лекцій та практичних занять з курсу. Наведемо приклади практично значущих завдань з курсу «Диференційні рівняння».

Курс диференційні рівняння є у навчальному плані багатьох спеціальностей. Існує вже значна кількість підручників різних авторів, призначених як для теоретичного вивчення курсу, так і набуття практичних навичок. Слід замітити, що не у кожному з них наводиться достатній матеріал, який демонструє застосування цього виду рівнянь у різних галузях знань. Тому ми намагаємося при ознайомленні студентів з методами розв’язання різних типів рівнянь наводити приклади застосування цих рівнянь у різних галузях людської діяльності. Традиційно при вивченні диференційних рівнянь наводяться приклади з геометрії, механіки, електротехніки, хімії. Це актуально для студентів технічних та природничо-математичних дисциплін. Ці приклади продовжуємо використовувати і ми, але разом з тим намагаємося розширити коло дисциплін, у яких використовуються ці види рівнянь. Так, задачі економіки, логістики, екології, соціальних наук також приводять до диференційних рівнянь. Добірка прикладів з цих наук дозволяє розширити коло застосувань диференційних рівнянь, які демонструються студентам, підвищити їх зацікавленість цією дисципліною. Ці задачі укладені російським авторами – С. Журавлевим та В. Аніковським [1]. Та вони наведені науковцями у скороченому вигляді, без докладних розв’язань. Окрім того, у збірці задач цих авторів матеріал побудований за принципом – галузь знань і рівняння, які в ній застосовуються. Так, розглядаючи, наприклад, приклад задач з економіки, автор використовує одночасно і рівняння з роздільними змінними, і системи диференційних рівнянь, які у робочій програмі знаходяться на достатньо великій відстані за часом їх вивчення студентами: рівняння з роздільними змінними вивчаються на перших заняттях з дисципліни, а системи рівнянь – майже на останніх. На наш погляд, працювати зі збіркою за такої її побудови може людина, яка вже ознайомлена з курсом диференційних рівнянь і може розв’язувати різні типи рівнянь і їх системи. Уважаємо, що для систематичного навчання такий принцип структурування навчального матеріалу не буде корисним, він підійде для поглиблення знань з дисципліни, для застосування на узагальнюючих заняттях, тощо. Тому ми адаптували ці приклади до систематичного курсу диференційних рівнянь, упорядкувавши задачі не за галузями їх застосування, а за типами диференційних рівнянь. Так, вивчаючи окремий тип рівнянь, наприклад, лінійні, ми наводимо різноманітні приклади задач практичного змісту, які зводяться до розв’язання цього типу рівнянь.

Зокрема, вивчаючи рівняння з роздільними змінними ілюструємо їх застосування у задачах з різних галузей знань: у фізиці, геометрії, біології, хімії, демографії, економіці тощо.

Наведемо приклади нетрадиційних задач практичного змісту.

Задача з економіки. Нехай інтенсивність випуску продукції підприємства. Припустимо, що зі збільшенням випуску продукції відбуватиметься насищення ринку і ціна товару буде падати. Наприклад, та швидкість зростання інтенсивності випуску продукції є функцією доходу, яка зростає. Скласти диференційне рівняння для функції і побудувати графік цієї функції[1].

Задача приводить до рівняння з роздільними змінними . Його розв’язок уявляє з себе рівняння логістичної кривої, яка часто виникає у різних галузях соціальних наук.

Задача з демографії. Із статистичних даних відомо, що для певного регіону кількість новонароджених і кількість померлих за одиницю часу пропорційне численності населення з коефіцієнтами пропорційності відповідно. Знайти закон зміни численності населення з часом [1].

Задача зводиться до рівняння з роздільними змінними , де число жителів регіону у момент часу .

За такою самою схемою будуємо вивчення усіх типів диференційних рівнянь. Після розв’язання задачі практичного змісту за допомогою диференційного рівняння пропонуємо також зображувати розв’язок графічно і аналізувати його.

Окрім того, наприкінці вивчення курсу ми знайомимо студентів з різними типами он-лайн калькуляторів та програм, призначених для розв’язання диференційних рівнянь і їх систем. Студенти можуть за їх допомогою перевіряти розв’язання рівнянь, знайдені ними самостійно. Не робимо цього на початку навчання, бо вважаємо, що спочатку потрібно навчитися розв’язувати рівняння «вручну», аналогічно до того, як калькулятор не доцільно використовувати дітям, які ще не оволоділи навичками усної лічби, не вивчили таблиці множення. Коли ж основний матеріал засвоєний на достатньому рівні, самі обчислювання вже становляться допоміжними, використання калькулятора допоможе зекономити час на розв’язання складних задач.

Література:

1. Журавлев С. Дифференциальные уравнения: Сборник задач : Учеб. пособ. для вузов / С. Журавлев, В.  Аниковский. – М.: «Экзамен», 2005. – 128 с.