МАТЕМАТИКА

1.Дифференциальные и интегральные уравнения

Докторантка группы ДМК-311 Омарова И.М

Международный казахско-турецкий университет имени Х. А. Яссави

 

Определение координат таймерных сигналов, удовлетворящих условию

 

Таймерные сигналы[1,2] представляют собой такие конструкции, в которых кодовое расстояние определяется нецелым числом найквистовых элементов. Информация заложена в длительностях отдельных временных отрезков сигнала  на интервале Тск и их взаимном положении. Элементом синтеза кодовой конструкции является временной отрезок <t0, однако в процессе передачи по каналу с базой , после очередного значущего момента модуляции(ЗММ) передается s раз очередной сигнал аі из алфавита канала.

Так как базовый элемент <t0  по каналу связи без межсимвольных искажений передавать невозможно, а следовательно существующая алгебраическая теория кодирования для таймерных сигналов неприемлема. С целью уменьшения межсимвольных искажений длительность отрезков между соседними ЗММ одного и тогоже кодового слова (КС) не меньше найквистового интервала (), но и не кратна ему . Временной отрезок  представляет часть единичного элемента  () и определяется минимальной вероятностью ошибки приёма одного значащего момента воспроизведения (ЗМВ) в „хорошем” состоянии канала и соответствуют минимальному расстоянию между простыми ТСК. Таймерные сигнальные конструкции используются в каналах модели Гильберта, которые отличаются тем, что имеют два рабочих состояния [3]. Для различия “хорошого” и “плохого” состояний канала используется уравнение качества , при помощи которого вводятся дополнительные ограничения для оценки правильного приема сигнала.

Существует два вида таймерных конструкций: простые, описанные выше, расстояние между ближайшими кодовыми словами составляет  и избыточные, у которых расстояние между кодовыми словами определяется параметрами избыточности исходя из уравнения качества. Избыточные кодовые слова требуют большее число реализаций для одного и того же множества разрешенного к передаче по каналу связи. Например, для построения простого таймерного кода, который обеспечивает передачу одного байта(256 различных кодовых слов) необходимо  [1] . Легко посчитать, что ближайшее число реализаций можно получить при .

Для получения избыточных кодовых слов, удовлетворяющих, например, неравенству   необходимо обеспечить 256*19=4864 простых кодовых слова, из которых только 256 разрешены к передаче, то есть удовлетворяют условию качества.  Такое число кодовых слов можно реализовать на интервале . Из этого следует, что временные затраты на передачу одной избыточной конструкции возрастут в 1,61 раза, что однако меньше времени передачи одного байта  при помощи РЦК (), и, как показывают исследования, обеспечивают вероятность ошибки в канале связи 10-7.[4]

В данной работе предложен метод определения координат векторов избыточных таймерных сигналов, удовлетворяющих условию качества и позволяющий оценить правильность приема вектора кодового слова на приемной стороне.

Рассмотрим систему таймерных сигналов, удовлетворяющих условиям

(1)
 

где  отрезки состоящие из  и соответствуют расстояниям между ЗММ.

Определим количество кодовых слов, удовлетворяющих условию (1) при двух и трех ЗММ.

Для двух ЗММ проверочное условие для отбора кодовых слов имеет вид

                                                        (2)

В [5] доказано, что для   , ,

Равенство (2) можно записать в виде:

                                                 (3)

где x0, x1, x2 – целые числа. При этом в силу выбора A1 и A2

 

Из формулы (2) следует, что векторы

,

.

 

удовлетворяют условию (3). Любой вектор , такой, что  можно представить в виде , то есть

 

 

(4)

 

 

 

Из значений переменной xi  (4) следует, что координаты  будут целыми числами тогда и только тогда, когда – целые. Из ограничений описанных выше видно, что для того чтобы вектор  был кодовым словом, x1 и  x2 должны изменяться в таких пределах:

 

                                                                                          (5)

где  n0 – максимальное число элементов между ЗММ.

Так как x1 и  x2 можно определить по формуле (4), рассмотрим пределы в которых могут изменяться  и , чтобы выполнялись условия (5). Количество кодовых слов зависит от количества различных пар  и . Найдем пределы изменения x0

Пусть

 

В силу (3) легко заметить, что

                                                                     (6)

Теперь на основании формул (4)-(6) запишем

 

                                                          (7)

 

Обозначим

Откуда для  получаем неравенства

                                         (8)

 

Теперь, чтобы найти кодовые слова поступим следующим образом: рассмотрим все целые числа, принадлежащее . Это те значения, которые может принимать . Для каждого фиксированного значения  решаем систему неравенств (8) для определения значений , которые могут быть использованы совместно с данными . Найдем все целые числа отрезка , где

Для каждого целого  находим количество целых чисел, принадлежащих отрезку [c, d]. Обозначим это количество . Число кодовых слов равно

При вычислении числа кодовых слов , рассмотрена совокупность всех пар  и , определяемых неравенствами (7) и (8). Рассмотрим матрицы:

 и

 

Составив произведение матриц P·T=S, где

 

                                               (9)

 

Строки матрицы S и будут координатами кодовых слов.

Количество кодовых слов при трех ЗММ определяется аналогично.

Опустим расчеты, которые вытекают из и  аналогичны описанным выше, приведем лишь результаты вычислений:

 

                                   (10)

Для каждого значения  найдем отрезок , все целые числа которого есть возможные значения . Аналогично значения  , — это все целые числа  на отрезке . Множество кодовых слов, будет получено путем полного перебора , , , удовлетворяющих  условию (10).

Рассмотрим проверочное условие для трех переходов с пересекающимися зонами:

 

                                                            (11)

Введем  вспомогательное значение

                                                        (12)

Получим из (11) неравенства для

                                                  (13)

Уравнение качества представим в виде  Принимая во внимание (11), делаем вывод, что PA0 принимает целые значения на отрезке .

 

При помощи данного метода можно получить набор кодовых слов для реализации таймерного сигнала с любым количеством ЗММ, которые удовлетворяют условию качества, а значит могут быть верно декодированы на приемной стороне.

 

Литература

1.             Захарченко М.В. Синтез багатопозиційних часових кодів – К.:Техніка, 1999. – 284 с.

2.             Методы повышения эффективности использования каналов связи /Захарченко В.Н., Гайда В.П., Улеев А.П., Липчанский А.И. – К.:Техника, 1998. – 248 с.

3.              Захарченко Н.В., Йона Л.Г., Калюжный В.А. Расчет эффективности совместного использования РЦК и МВС.: Учебное пособие / под.. ред. Захарченко Н.В. – Одесса: УГАС им. А.С. Попова, 1995. – 72 с.

4.             Захарченко М. В., Ефективність корегуючих ТСК в односторонніх системах передачі./ М. В. Захарченко, М.М. Гаджієв, С. В. Хомич, М.П. Кучеренко // Східно-європейський журнал передових технологій. – 2012. – Вип. 1/9. – с. 33-36.