Комплексное восприятие понятий – ключ системности знаний

Самая любимая у математики – истина,

а ее наряд –простота и ясность.

(Я.Снядецкий)

Х.Ш.Шихалиев – доктор педагогических наук, профессор Дагестанского государственного педагогического университета, профессор, Россия.

И.М. Хаджарова – учительница гимназии №11 города Махачкалы, Россия.

Ключевые слова: математика, понятия, комплексный подход, восприятие, методика.

На современном этапе развития школы России в условиях модернизации образовательного пространства необходима такая система обучения, которая основана как на содержании, так и на формах обучения, а все это должно быть реализовано творчеством учителя, проектированием им образовательных процессов. В исследованиях академика В.М.Монахова термин «педагогическая технология» поясняется как «иерархизированная и упорядоченная система процедур, неукоснительное выполнение которых гарантирует достижение определенного планируемого результата» [2,C.380].

Часто обнаруживается в практике обучения математике то, что результаты обучения желают лучшего, наблюдается отсутствие системности в знаниях учащихся. Такие факты, встречаемые в школьной практике часто и везде, привели нас к поискам причин такого положения и разработке подходов для устранения таких пробелов в знаниях учащихся, в частности, в основной общеобразовательной школе. При этом мы придерживались пути перехода от актуального уровня знаний к ближайшему уровню. [ 1 ] Раскроем суть такой методики на конкретных, более популярных примерах из практики обучения математике в общеобразовательной школе.

1. В основе вычислений площадей фигур на плоскости лежат знания вычисления площадей прямоугольника и треугольника. С вычислением

площади прямоугольника учащиеся знакомятся уже в начальной школе, накладывая на фигуру единицу измерения площади (квадраты разных размеров), после чего обобщается такой подход вычислением результата таких действий путем умножения длины и ширины прямоугольника. Знакомство учащихся с различными треугольниками по их углам ( прямоугольный, остроугольный и тупоугольный) дает возможность для перехода к ближайшему уровню знаний, к вычислению площади прямоугольного треугольника, разбивая данный прямоугольник его диагональю на два равных прямоугольных треугольника. Обобщая такое осознание, мы приходим к выводу о том, что площадь прямоугольного треугольника равна произведению длин его катетов (сторон, образующих прямой угол), разделенному на 2, то есть S =(a∙b)/2, где а и b – длины катетов прямоугольного треугольника, впоследствии один из катетов «становится» высотой прямоугольного треугольника. Далее, любой треугольник представляется или двумя прямоугольными треугольниками с одной и той же высотой DC (рис.1а), или же прямоугольником, состоящем из двух таких треугольников, или же заменой треугольника одним прямоугольником, ширина которого в два раза короче высоты данного треугольника(рис.1б)

Е

С

К

А

В

D

D

A

B

C

K

E

a)

б)

Рис.1

На этом этапе решается и обратная задача ( переходя от актуального уровня к ближайшему): приводя вычисление площади любого треугольника к вычислению площади прямоугольника. При этом учащиеся не отходят от истины в том, что площадь любого треугольника равна половине произведения длины одной из его сторон на длину его высоты на эту сторону: S ABC=(a∙h_a)/2.

Цепочка перехода от актуального уровня знаний к ближайшему уровню не обрывается, а продолжается и на следующих этапах обучения: от имеющейся формулы вычисления площади треугольника переходят к другим формулам по схеме:

S ABC=(a∙h_a)/2→ S ABC= ;

S ABC=(a∙h_a)/2→ S ABC=[(a∙b)sin ]/2 → S ABC=

S ABC=(a∙h_a)/2→ S ABC=p∙r;

Вычисление площади треугольника различными вариантами усваивается учащимися, запоминается ими вместе с рассуждениями при их доказательстве.

2. Учащимся неплохо запоминается уравнение прямой линии Ах+Ву+С=0.

Установив связь этого уравнения с уравнением Ах+Ву=0, переходим ближайшему уровню: раскрываем связь последнего уравнения с вектором, координаты которого имеют прямое отношение к коэффициентам при неизвестных данного уравнения [3, С.189]. Если принять уравнение Ах+Ву=0 за скалярное произведение двух взаимно перпендикулярных векторов, у которых координаты обязательно будут следующие: (х;у) и (А;В). Значит, с заданием уравнения прямой линии своим уравнением одновременно задается и вектор, который перпендикулярен ей. Здесь раскрывается повод для дальнейших мыслей исследовательского характера: из уравнения Ах+Ву=0 выводится пропорция: Ах+Ву=0⟹Ах=−Ву⟹ ( −В): А =х:у. Последнее равенство свидетельствует о том, что мы имеем два коллинеарных вектора с координатами: (х;у) и ( −В: А). То есть с заданием уравнения прямой задается и вектор, параллельный этой прямой. Первая координата такого вектора равна коэффициенту при у с противоположным знаком, а вторая его координата совпадает с коэффициентом при х. Таким образов при задании вектора своими координатами задаются два уравнения взаимно перпендикулярных прямых, и, наоборот, при задании уравнение прямой своим уравнением задаются одновременно два взаимно перпендикулярных вектора. Например, имеется вектор (−2; 5). Значит, мы можем составить бесконечное множество уравнений параллельных и перпендикулярных этому вектору: −2х+5у=0(−2х+5у+С=0) – уравнение перпендикулярных прямых, и уравнения параллельных прямых (5х+2у+С=0).

Комплексный подход при обучении математике и рассмотрение понятий в различных вариантах их формирования становится необходимым процессом педагогического процесса обучения в школе.

Литература

1. Выготский Л.С. Проблемы общей психологии //Сборник сочинений, том.1, ч.1, М.:-Педагогика, 1982, 480с.

2. Монахов В.М., Никулина Е.В. Технологические особенности проектирования деятельности реализации учебного процесса//Сборник статей Всероссийской научной конференции, Тольятти, 2003, С.379-383.

3. Шихалиев Х.Ш. Геометрия на плоскости 5-9, учебно-экспериментальное пособие для общеобразовательной школы, Махачкала:- ДГПУ. 2010, 350с.