МАТЕМАТИКА/ 4.Прикладная математика

Стешкина К.А., Снежкина О.В.

Пензенский государственный университет архитектуры и строительства, Россия

Приближенные вычисления в технических расчетах

Правила и законы арифметики выведены в предположении, что все числа точные. Поэтому если вычисления с приближенными числами выполнять обычными способами, то затрачивается много времени на нахождение ненужных (свыше возможной точности) цифр и, самое главное, создается опасное и вредное впечатление точности там, где ее в действительности нет.

Математика, безусловно, наука точная, но понятие «точности» само требует конкретизации. Для того чтобы это осуществить, начинать надо с понятия числа, так как от точности чисел, т. е. от достоверности исходных данных, в значительной мере зависит точность результатов выполняемых вычислений.

Есть три источника получения чисел: измерения, счет и выполнение различных математических операций. Любое измерение нельзя выполнить абсолютно точно. Каждый прибор дает какую-то, большую или меньшую, погрешность. Два наблюдателя, измеряя одним и тем же прибором одну и ту же величину, как правило, получают несколько различные результаты, полное же совпадение результатов является редким исключением.

Ошибка каждого измерения слагается из ошибки прибора и ошибки наблюдателя. Убедиться в этом помогает такой простой опыт. Построим на листе неразлинованной бумаги при помощи линейки с миллиметровыми делениями и циркуля прямоугольник ABCD со сторонами АВ = 180 мм и ВС = 130 мм; измерим этой же линейкой диагонали АС и BD, определяя на глаз результаты с точностью до 0,1 мм, а затем вычислим их произведение АС • BD. Выполнив этот опыт несколько раз, убедимся, что результаты будут отличаться как один от другого, так и от точного значения, которое согласно теореме Пифагора равно: АС • BD = АС² = АВ² + ВС² = 49300 мм².

Если опыт выполнит группа из нескольких человек, то результаты будут еще более наглядными. Следовательно, даже такой простейший измерительный прибор, как масштабная линейка, и тот имеет «ошибку прибора». Действительно, ребра и плоскости ее несколько отличаются от идеальных прямых и плоскостей, а штрихи на линейке не могут быть нанесены на абсолютно равных расстояниях, и, кроме того, эти штрихи имеют определенную толщину, так что при измерении мы не можем получить результаты более точные, чем позволяет толщина этих штрихов. Результаты измерений и построений также зависят от качества используемых инструментов.

Перейдем ко второму источнику получения чисел — к счету. Если количество пересчитываемых предметов невелико и если оно постоянно во времени, то мы будем получать совершенно точные результаты. Но можно ли, например, утверждать, что в конце n - го года число жителей k –ой страны действительно составляло 48 377 363 человек? Ведь численность населения страны или города постоянно колеблется (даже за тот промежуток времени, в течение которого выполнен счет) вокруг своего среднего значения, так как ежечасно, ежеминутно люди приезжают и уезжают, рождаются и умирают.

Рассмотрим вторую сторону вопроса. Нужна ли на практике абсолютная точность и какую ценность представляет приближенный результат? Вновь обратимся к примерам. Никто не останется неудовлетворенным ответом, что поезд приходит в 10 час 47 мин с возможным опережением или опозданием в пределах 15 сек, т. е., как принято говорить, в 10 h 47' ± 15", тем более, что само понятие прибытия поезда несет в себе известную неопределенность: прибытием можно считать либо тот момент, когда поезд подошел к перрону, либо момент остановки локомотива, либо момент остановки последнего вагона, двигающегося некоторое время по инерции.

При расчете линий электропередачи или газопровода никто не будет определять расстояние между опорами с точностью до миллиметра или диаметр трубы с точностью до микрона. Норму высева семян устанавливают с точностью до нескольких килограммов на гектар и т. д.

В технике и строительстве каждую деталь или сооружение можно изготовить только в пределах точности, которая определяется так называемыми допусками. Эти допуски колеблются от долей микрона до миллиметров, сантиметров и даже дециметров, в зависимости от материала, размера и предназначения детали или сооружения. Следовательно, для определения размеров детали не имеет никакого смысла вести вычисления с точностью большей, чем та, которая определена допусками.

Резюмируя сказанное, приходим к следующему: исходные данные, как правило, имеют погрешности, т. е. являются приближенными. Эти погрешности, чаще в увеличенном размере, переходят в результаты вычислений. Но практика и не требует точных данных, а удовлетворяется результатами с некоторыми допустимыми погрешностями, величина которых должна быть наперед заданной. В большинстве технических расчетов допустимые погрешности находятся в пределах от 0,1 до 5%, но во многих научных вопросах, связанных с современной техникой, они должны быть снижены до тысячных долей процента, а иногда и более. Так, при запуске с промежуточной орбиты первого в мире искусственного спутника Луны, необходимо было обеспечить вторую начальную космическую скорость (v₀ ≈ 11200 м/сек) с точностью до нескольких сантиметров в секунду, так как даже такая микроскопическая ошибка настолько влияет на параметры орбиты, что запускаемый аппарат может стать спутником Солнца, а не Луны. Еще большую точность следовало обеспечить при расчете и строительстве гигантского синхрофазотрона, кольцевой магнит которого, имеющий диаметр около 1,5 км, надо было рассчитать, изготовить и установить с микронной точностью.

Обеспечить необходимую точность результата можно только тогда, когда исходные данные берут достаточно точными и когда учитывают все погрешности, которые привносятся самими вычислениями.

Истинная же математическая и вообще научная точность состоит именно в том, чтобы указать на наличие почти всегда неизбежных погрешностей и определить их истинные пределы.