Математика/ 5. Математическое моделирование

К. физ.-мат. наук Вендина А.А.,

К. физ.-мат. наук Севрюков П.Ф.

Ставропольский государственный педагогический институт, Россия.

Численное моделирование миграции загрязнения подземных вод в сильнопористых средах с фрактальной структурой

В работе рассматривается математическая модель миграции загрязнения подземных вод в сложных почвенных структурах, геометрия которые не может быть описана в рамках классического подхода теории массопереноса. Рассматривается влияние сложной структуры порового пространства сильнопористых сред на динамику переноса примесей подземными водами.

Распространение загрязнений потоком подземных вод в пористых средах, в случае установившейся равномерной фильтрации, описывается, как показано в работе [1], дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами вида

. (1)

Здесь – концентрация загрязнений в точке в момент времени ; - предельная концентрация загрязнений; - коэффициент пористости; – коэффициент конвективной диффузии, – скорость движения потока подземных вод, – коэффициент массообмена – постоянные величины, определяемые в лабораторных условиях или в результате решения обратных начально-краевых задач.

Уравнение (1) получено на основе линейных представлений о гидрогеологических процессах с упрощающими допущениями, в которых сложная пористая среда моделируется простыми фигурами евклидовой геометрии. В связи с этим, характерным свойством полученных численно-аналитических решений различных начально-краевых задач для уравнения (1) является отсутствие влияния на процессы переноса аномальных явлений, возникающих в сильнопористых природных средах, пространство структуры пор которых не может быть описано постулатами евклидовой геометрии.

Одним из важных свойств реальных процессов миграции в пористых средах является конечность скорости распространения любого возмущения, а также обнаруженное на практике и подтвержденное некоторыми экспериментальными данными свойство самоподобия [5, 6, 9] или масштабной инвариантности во времени и пространстве. Такие свойства миграции загрязнения составляют основу особого класса физических процессов, называемых фрактальными. Главным фактором, определяющим формирование фрактального процесса, является сложная топология порового пространства природных сред, а интерпретация структуры пор, как множества с фрактальной размерностью Хаусдорфа – Безиковича, приводит к существенно новым дифференциальным уравнениям дробного порядка [2, 3, 4, 8].

Рассмотрим динамику изменения концентрации загрязнений подземных грунтовых вод в сильнопористых средах, интерпретируемых как среды с фрактальной структурой. В этом случае, она описывается [3] обобщенным нелинейным уравнением с дробной производной Капуто по времени

. (2)

Здесь - оператор дробного интегро-дифференцирования по Капуто, определяемый равенством

;

– гамма-функция Эйлера; а фрактальный коэффициент описывает дробную диффузию загрязненных веществ в потоке подземных вод.

Для анализа такого процесса в прямоугольной области рассмотрим нелокальную начально-краевую задачу в следующей постановке.

Задача 1. Найти регулярное решение уравнения миграции (2), удовлетворяющее начально-краевым условиям

, (3)

, . (4)

Первое условие равенств (4) представляет собой математическую модель баланса загрязнений на левой границе выделенного слоя : расход загрязняющего вещества поступающего в пористую среду с фильтрационным потоком равен расходу вещества вследствие действия сил диффузии и гравитации; а второе уравнение равенств (4) описывает допустимое пренебрежение обратного диффузионного потока на правой границе слоя .

Численное решение задачи. Для численной реализации задачи 1 в соответствии с общими принципами построения конечно-разностных аналогов в области рассматривается сетка

с шагами , . Обозначим через значение в функции в узле . С учетом известного [7] разностного соотношения, аппроксимирующего дробную производную по Капуто

(6)

уравнение (2) редуцируется к разностному алгебраическому аналогу вида

, (7)

где , а и - значения функции концентрации загрязнений в точках -го и -го временных слоев соответственно.

Из выражения (6) следует, что разностная схема (6), (7) является многослойной, так как оператор определен на всем множестве расчетных узлов текущего временного слоя, что является математическим описанием эффектов памяти: «частицы хорошо помнят, как они сюда попали».

Таким образом, дифференциальная нелокальная начально-краевая задача 1 эквивалентно сводится к разностной задаче в следующей постановке.

Задача 2. Найти в области функцию , удовлетворяющую алгебраическому уравнению (7) и начально-краевым условиям

, , . (8)

Для решения задачи 2 рассматривается модифицированный метод прогонки, в соответствии с которым значение аппроксимирующей функции в узловой точке сетки представимо в виде

. (9)

Выполняя в разностном уравнении (7) с учетом равенств (6) и (9) алгебраические преобразования, несложно получить рекуррентные формулы расчета коэффициентов , следующего вида:

. (10)

, (11)

где , параметр .

Для того чтобы определить значения аппроксимирующей функции во всех точках вертикального слоя сетки воспользуемся разностными представлениями начально-краевых условий (8) и полученными рекуррентными формулами (10), (11). При коэффициенты и соответственно принимают вид:

. (12)

, (13)

где .

Результаты численного расчета решения (9) – (13), реализованного в системе Maple для различных значений параметров , приведены на рис. 1 – 4. Анализ полученных графических результатов показывает, что имеет место качественное отличие распределения концентрации загрязнений в потоке при их описании с дробными производными. Вместо экспоненциального, характерного для классических решений (рис. 4, ), распределения изменения концентрации, имеем затухающий степенной характер распределения примесей. Это свойство изменения концентрации загрязнений в потоке подземных вод является физическим отражением фрактальных свойств процесса миграции.

Учет нелокальности по времени в модельном уравнении (2) приводит к качественному отличию распределения концентрации загрязнений от полученных ранее традиционных решений, построенных на основе классического уравнения миграции (1).

Рис. 1.	Рис. 2.
Рис. 3.	Рис. 4.

Литература

1. Аверьянов С.A. Борьба с засолением орошаемых земель. М.: Колос, 1978. 288 с.

2. Бейбалаев В.Д. Математическая модель кинетики сорбции в средах с фрактальной структурой // Современные проблемы науки и образования. 2008. №6. С. 5.

3. Вендина А.А. Математическое моделирование нестационарного режима миграции загрязнений в средах с фрактальной структурой: автореф. дис. канд. физ. мат. наук. Ставрополь: СГУ, 2012. 16 с.

4. Сербина Л.И., Вендина А.А. Асимптотический метод решения дробного уравнения миграции загрязнения подземных вод // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. 2011. № 5. С. 104–108.

5. Соколов И.М. Размерности и другие геометрические критические показатели в теории протекания // Успехи физ. наук. 1986. Т. 150. № 2. С. 221–256.

6. Чукбар К.В. Стохастический перенос и дробные производные // Журнал экспериментальной и технической физики. 1995. Т. 108. Вып. 5(11). С. 1875–1884.

7. Шхануков М.Х. О сходимости разностных схем для дифференциальных уравнений с дробной производной // Доклады академии наук. 1996. Т. 348. № 6. С. 746–748.

8. Kilbas A.A., Srivastava H.M., Trujillo J.J. Theory and Applications of Fractional Differential Equations. Amsterdam: ELSEVIER, 2006. 541 p.

9. Metzler R., Glockle W.G., Nonnenmacher T.F. Fractional model equation for anomalous diffusion // Physica A. 1994. V. 211. P. 13–24.