Матвєєв В.С

Бердянський державний педагогічний університет, Україна

Математичне моделювання маятника в перевернутому положенні при малих кутах відхилення

Об'єктом моделювання є перевернутий маятник , прикріплений за допомогою шарніра до візка , здатної переміщатися уздовж горизонтальних направляючих ( Рис. 1). даний об'єкт управляється двигуном , який у певний момент часу прикладає до візка силу, що є вхідний змінної. Мета управління полягає в підтримці маятника у вертикальному положенні , що досягається шляхом горизонтального переміщення (змінна х ) візка . Сила , прикладена до візка , позначається F , М - маса візка , m - маса маятника (матеріальної точки ) , L - довжина маятника . Тертя осі маятника не враховується.

m

x

y

M

L

F

Мал. 1 Перевернутий маятник

Рівняння руху маятника мож на отримати за допомогою рівнянь Лагранжа:

Далі будемо вважати, що:

Де – швидкість візка,

а – швидкість матеріальної точки m

Таким чином Лагранжіан системи являє собою:

Рівняння руху представляють собою:

Якщо підставити L у рівняння, то отримуємо:

Ці рівняння можна звести до лінійних якщо припустити при малих кутах відхилення, що:

Таким чином ми отримуємо:

З цієї системи рівнянь виведемо . Підставимо відоме до першого рівняння і отримаємо:

У рівнянні члени зі зворотними знаками взаємознищуються і ми отримуємо:

Звідси ми отримуємо

Підставивши значення до рівняння (8) ми отримуємо:

Спрощуючи рівняння (14) маємо:

Таким чином маємо систему рівнянь для системи:

; (16)

Наступним кроком є побудова моделі у просторі станів.

Простір станів - в теорії управління один з основних методів опису поведінки динамічної системи. Рух системи в просторі станів відображає зміну її станів.

У просторі станів може бути створена модель динамічної системи, що включає набір змінних входу, виходу і стану, пов'язаних між собою диференціальними рівняннями першого порядку, які записуються в матричної формі. На відміну від опису у вигляді передавальної функції та інших методів частотної області, простір станів дозволяє працювати не тільки з лінійними системами і нульовими початковими умовами. Крім того, в просторі станів відносно просто працювати з системами, які мають багато вхідних та вихідних даних.

Для випадку лінійної системи використовується так звана система рівнянь стану, яке представляє собою:

(17)

Де:

- Вектор стану, елементи якого називаються станами системи

- Вектор виходу

- Вектор управління

- Матриця системи

- Матриця управління

- Матриця виходу

- Матриця прямого зв'язку

Застосувавши вищезазначену теорію до нашої системи рівнянь, ми отримуємо наступні матричні рівняння:

U; (18)

; (19)

Використовуючи матричні рівняння 18 та 19 можна створити програму яка буде представляти собою контролер системи перевернутого маятника в русі.

Висновок: Для кожної механічної системи можна застосувати перехід від диференційних рівнянь до моделі простору станів переваги даної моделі очевидні. До головних переваг можна віднести відносну простоту такої моделі порівняно з іншими та очевидна простота і очевидність в керуванні представленого в такому вигляді системою.

Список використаної літератури

1 . Бобиків А.І. , Карташева Л.П. Аналітичні методи синтезу систем управління. Уч. посібник. Рязань : РГРТА 1993 року.

2 . Бобиків А.І. Використання пакету Simulink / MATLAB для дослідження систем управління ( Побудова блок- схем) : Уч. посібник. Рязань : РГРТА 2003 року. 64 с.

3 . Бобиків А.І. , Нікітін А.М. Проектування лінійних систем керування з SISO DESING ІНСТРУМЕНТ / MATLAB : Учеб. посібник. Рязань : РГРТА 2004 року. 88 с.

4 . Дорф Р. , Бішоп Р. Сучасні системи управління . М: . Лабораторія базових знань , 2002 . 632 с.

5 . Дебні Дж. , Харман Т.Л. Simukink 4 . Секрети майстерності. Пер. з англ. - М: БИНОМ .. Лабораторія знань , 2003 . 403 с.

6 . Бобиків А.І. Теорія автоматичного управління . Методичні вказівки до курсової роботи . Рязань : РГРТА 1994 року. 44 с.