ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ГИДРОДИНАМИКИ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ

С. Н. Шалтаков, С. Ш. Кажикенова,

Для компьютерного моделирования течения расплавов необходимо численное решение уравнений гидродинамики методом конечных разностей.

Рассмотрим плоское течение. Пусть область евклидова пространства , причем . Разобьем все пространство на элементарные ячейки, площадь которых: где шаг.

Составим разностные отношения по :

.

Сдвиг по определим как: .

Векторы представляют собой единичные векторы по осям . Согласно работе [1] векторы скорости выражаются соотношениями:

Тогда для произвольных функций , заданных на сетке, получим следующие выражения:

.

Здесь принято, что:

.

Для демонстрации данного метода после соответствующих преобразований перепишем уравнение гидродинамики в виде:

(1)

где: .Для простоты рассмотрим случай, когда . Для этого разобьем временной интервал точками: Это позволит рассмотреть слои и . Обозначим индексы так, чтобы , а также указали на номер слоя, на котором они вычисляются. Существуют различные аппроксимации разностного оператора . Возьмем этот оператор в виде предложенного в работах [2], [3]:

.

Тогда уравнение (1) можно представить следующей разностной схемой:

, (2)

, (3)

, (4)

, (5)

где Для полного завершения построения разностной схемы к этим уравнениям следует добавить начальные и граничные условия.

,

.

Таким образом, мы получаем уравнения (2) – (5), которые решаются по отдельности. Это позволяет написать машинные программы для реализации численных конечно-разностных методов. Для проверки корректности работы программы решена плоская задача Дирихле для уравнения Пуассона, приведенного в работе [4]. Согласно [4], решение уравнения Пуассона приведено в таблице 1. Для контрольного примера в таблице 2 приведем решение задачи Дирихле уже с другими граничными условиями из тех же справочных источников. Сравнивая решения первой и второй краевых задач Дирихле из справочных источников, представленными в таблицах 1 и 2, с результатами программы для решения краевых задач, представленными в таблицах 3 и 4, мы видим удовлетворительное совпадение решений при заданной точности Реализация этой процедуры занимает 15 минут машинного времени. А при увеличении точности до наши результаты, представленные в таблице 5, фактически совпадают с результатами стандартных справочных данных.

Таблица 1 – Решение первой краевой задачи Дирихле для уравнения Пуассона из справочных источников

Y	X
	0.00	0.40	0.80	1.20	1.60	2.00
0.00	0.00	0.00	0.00	0.00	0.00	0.00
0.20	0.08	0.32	0.51	0.72	0.99	0.84
0.40	0.32	0.72	1.07	1.41	1.78	1.76
0.60	0.72	1.23	1.68	2.12	2.56	2.76
0.80	1.28	1.82	2.65	3.22	3.82	3.84
1.00	2.00	2.44	2.96	3.56	4.24	5.00

Таблица 2 – Решение второй краевой задачи Дирихле для уравнения Пуассона из справочных источников

Y	X
	0.00	0.40	0.80	1.20	1.60	2.00
0.00	1.00	1.40	1.80	2.20	2.60	3.00
0.20	2.00	1.05	0.95	1.08	1.44	2.96
0.40	2.00	1.02	0.60	0.59	0.93	2.84
0.60	4.00	1.36	0.78	0.63	0.93	2.64
0.80	5.00	2.78	2.12	1.81	1.64	2.36
1.00	6.00	5.84	5.36	4.56	3.44	2.00

Таблица 3 – Решение первой краевой задачи Дирихле для уравнения Пуассона с заданной точностью

Y	X
	0.000	0.200	0.400	0.600	0.800	1.000	1.200	1.400	1.600	1.800	2.000
0.0	0.000	0.000	0.000	0.000	0.000	0.000	0.000	0.000	0.000	0.000	0.000
0.2	0.080	0.241	0.262	0.264	0.266	0.269	0.272	0.276	0.280	0.330	0.840
0.4	0.320	0.303	0.301	0.303	0.305	0.308	0.311	0.315	0.320	0.447	1.760
0.6	0.720	0.356	0.305	0.306	0.308	0.310	0.314	0.318	0.323	0.538	2.760
0.8	1.280	0.429	0.310	0.308	0.310	0.313	0.316	0.320	0.325	0.636	3.840
1.0	2.000	0.523	0.315	0.311	0.313	0.315	0.319	0.323	0.329	0.741	5.000
1.2	2.880	0.639	0.322	0.314	0.316	0.319	0.322	0.326	0.332	0.854	6.240
1.4	3.920	0.776	0.330	0.318	0.320	0.323	0.326	0.330	0.337	0.974	7.560
1.6	5.120	0.935	0.341	0.323	0.326	0.329	0.332	0.336	0.343	1.105	8.960
1.8	6.480	1.248	0.581	0.613	0.674	0.744	0.821	0.906	1.002	1.946	10.44
2.0	2.000	2.440	2.960	3.560	4.240	5.000	5.840	6.760	7.760	8.840	10.00

Таблица 4 – Решение второй краевой задачи Дирихле для уравнения Пуассона с заданной точностью

Y	X
	0.000	0.200	0.400	0.600	0.800	1.000	1.200	1.400	1.600	1.800	2.000
0.0	1.000	1.200	1.400	1.600	1.800	2.000	2.200	2.400	2.600	2.800	3.000
0.2	2.000	1.109	1.011	1.012	1.016	1.019	1.023	1.026	1.029	1.138	2.960
0.4	3.000	1.215	1.004	0.997	0.996	0.994	0.992	0.990	0.988	1.087	2.840
0.6	4.000	1.325	1.007	0.997	0.995	0.993	0.991	0.988	0.985	1.074	2.640
0.8	5.000	1.436	1.009	0.996	0.994	0.992	0.989	0.986	0.983	1.057	2.360
1.0	6.000	1.546	1.012	0.995	0.993	0.990	0.987	0.984	0.981	1.035	2.000
1.2	7.000	1.656	1.015	0.994	0.992	0.989	0.986	0.983	0.979	1.008	1.560
1.4	8.000	1.767	1.017	0.994	0.991	0.988	0.984	0.981	0.977	0.977	1.040
1.6	9.000	1.877	1.020	0.993	0.990	0.986	0.983	0.979	0.975	0.942	0.440
1.8	10.00	2.018	1.059	1.027	1.022	1.016	1.009	1.000	0.992	0.917	-0.24
2.0	6.000	5.960	5.840	5.640	5.360	5.000	4.560	4.040	3.440	2.760	2.000

Таблица 5 – Решение первой краевой задачи Дирихле для уравнения Пуассона с заданной точностью

Y	X
	0.000	0.400	0.800	1.200	1.600	2.000
0.00	0.000	0.000	0.000	0.000	0.000	0.000
0.20	0.080	0.301	0.508	0.750	1.001	0.800
0.40	0.320	0.730	1.055	1.430	1.851	1.710
0.60	0.720	1.221	1.666	2.101	2.590	2.732
0.80	1.280	1.790	2.599	3.202	3.798	3.884
1.00	2.000	2.490	2.981	3.549	4.290	5.001

Необходимо отметить, что увеличение точности приводит к возрастанию затрат машинного времени, которое составляет 45 минут. Полученные результаты показывают корректность составленной программы, а также корректность поставленных краевых задач для уравнений гидродинамики, рассмотренных нами выше.