ВИКОРИСТАННЯ МЕТОДУ ХОРДУ У РОЗВ’ЯЗУВАННІ ЕКОНОМІЧНИХ ЗАДАЧ ОПТИМІЗАЦІЇ

Клочко О.В., Герасимчук О.М.

У статті проаналізовано метод хорд,як один з поширених методів оптимізації ,розглянуто його використання для розв’язування економічних задач

Вступ. Метод хорд — один з поширених ітераційних методів. Його ще називають методом лінійного інтерполювання, методом пропорційних частин, або методом хибного положення. Першим, хто зміг знайти наближені рішення кубічних рівнянь, був Діофант, тим самим заклавши основу методу хорд. Ранні роботи Діофанта повідомляють про це. Однак першим, хто зрозумів його методи, був Ферма в XVII столітті, а першим, хто дав пояснення методу хорд, був Ньютон (1670-і рр..).

Аналіз останніх досліджень і публікацій. Метод хорд та його застосування для розв’язування задач оптимізації досліджували вчені Євсюкова М.В., Калашник О.А., Левченко К.Б., Черепахою К.В., Сорокина Н.Д., Селицкий Г.В., Косицин Н.С., Свинов М.М., Орлов А.М., Томсон С.В.

Метою статті є проаналізувати метод хорд, а також розглянути його використання для розв’язування економічних задач.

Результати дослідження. Нехай задано рівняння , де на відрізку має неперервні похідні першого й другого порядків, які зберігають сталі знаки на цьому відрізку, і, тобто корінь рівняння відокремлений на .

Ідея методу хорд в тому, що на досить малому відрізку дуга кривої замінюється хордою і абсциса точки перетину хорди з віссю OX є наближеним значенням кореня [1].

Метод хорд можна записати так:

, тобто = 0,1,2,....

де

Достатні умови збіжності методу хорд дає наступна теорема: нехай на відрізку функція неперервна разом із своїми похідними до другого порядку включно, причому , а похідні і зберігають сталі знаки на , тоді існує такий окіл кореня рівняння , що для будь-якого початкового наближення з цього околу послідовність , обчислена за формулою, збігатиметься до кореня [2].

Розглянемо алгоритм методу хорд:

1. Робота алгоритму починається з точки х₀€, яка є початковим наближенням кореня рівня - фіксований лівий кінець, якщо- фіксований правий кінець). Наближення до стаціонарної точки визначається за формулою:

1.1. Якщо - беремо х₀=b, хорда має лівий фіксований кінець і послідовність х₀ ,х₁ , х₂ , … буде наближатися до корення справа:

1.2. Якщо - беремо х₀=а , хорда має правий фіксований кінець і послідовність х₀ ,х₁ , х₂ , … буде наближатися до корення зліва:

2. Обчислити

3. Якщо (можна задавати умову , то закінчити пошук, . Інакше повернутися до п.1[3].

Розглянемо приклад застосування методу хорд для пошуку оптимального значення обсягу виробництва продукції залежно від витрат для умовного підприємства, яка виражається функцією:

у(х)=С*х - D*х³,

та знайдемо оптимальне значення витрат виробництва з точністю δ=0,05, при якому обсяг продукції максимальний. Значення А, Б, С, D, меж інтервалу a, b, значення кроку h і x₀ вказанні в таблиці 1.

Таблиця 1.

A	B	C	D	a	b	x0	h
20	0,3	37	10	0	2,5	1,8	0,4

У якості виробничої функції, яка описує таку залежність оберемо поліном третього порядку. Даний вибір ґрунтується на загальних припущеннях теорії виробничих функцій і описує випадки, коли при невеликому збільшенні витрат х суттєво збільшується випуск продукції у за законом економії на масштабах виробництва, по друге, таке або менше збільшення випуску у потребує значно більших витрат за законом зростаючих витрат, по третє, гранична ефективність витрат залишається незмінною, четверте, досягається оптимальне значення випуску продукції на деякому інтервалі значень витрат, а також описують процеси прискореного зростання, прискореного спадания, сповільненого зростання, сповільненого спадання випуску продукції залежно від значення витрат.

Отже, залежність між обсягом продукції f і витратами виробництва х описує виробнича функція:

f (х)=37*х - 10*х³

Знайдемо оптимальне значення витрат виробництва за допомогою методу хорд з точністю δ=0,05 при якому випуск продукції буде максимальний. Підприємство може витратити на виробництво продукції не більше 2,5 умовних грошових одиниць.

Перевіримо умови застосування методу хорд для розв’язування даної задачі. В інтервалі [0; 2,5] існують дві точки х¹ і х², покладемо х¹=а=0 і х²=b=2,5, в яких знаки похідної різні f'(0)=37, f'(2,5)=-150,5. Цільова функція f(x) тричі диференційована, оскільки вона є поліномом третього порядку. f''(x)=-60*х i f'''(x)=-60 зберігають знак на проміжку [0; 2,5].

Робота алгоритму починається з точки х₀Î[0; 2,5] і є початковим наближенням кореня рівняння f'(x)=0, оскільки f'(2,5)f'"(2,5)>0, то фіксуємо правий кінець - точку b=2,5. Наближення до стаціонарної точки х* визначається за формулою: беремо х₀=а=0, послідовність х₀, х₁, х₂, ... буде наближатись до кореня зліва. Наступна точка розраховується за формулою:

x_k+1=b-f’(b)(b-x_k)/( f’(b)- f’(x_k)).

Результати розрахунків оформлюємо у таблиці 2:

Таблиця 2.

№ ітерації	хі	f'(хi)
1	0	37
2	0,493333	29,69867
3	0,824053	16,62808
4	0,990798	7,549554
5	1,062888	3,108043
6	1,091966	1,228281
7	1,103365	0,477583
8	1,107783	0,184522
9	1,109488	0,071118
10	1,110144	0,027385

Закінчуємо пошук, оскільки |f'(x₁₀)|<d, тобто |f'(1,110144)=0,027385|<0,05; х*= x₁₁=1,110397, f(x*)=41,0847.

Отже, максимальний обсяг продукції буде становити 41,0875 одиниць, при витратах виробництва 1,110397 грошових одиниць.

Висновки. Отже, специфіка методу хорд полягає в тому, що на досить малому відрізку дуга кривої замінюється хордою і наближеним значенням кореня вважається абсциса точки перетину хорди з віссю OX. Ми розглянули приклад застосування методу хорд для пошуку оптимального значення обсягу виробництва продукції залежно від витрат для умовного підприємства. Даний метод є зручним у використанні, за допомогою алгоритму можна легко написати програмний код та застосовувати його для розв’язування задач оптимізації у подальших дослідженнях економічних явищ, процесів, систем.

Література:

1.Бахвалов Н.С., Шадков И.П., Кобельников Г.М., Численные методы. М.: Наука, 2007.- 280с.

2.Волков Е.А., Численные методы. М.: Наука, 2008.- 320с.

3. Элементы вычислительной математики, под ред. С.Б.Норкина. М.: Высшая школа, 2009.