Математика /1. Дифференциальные и интегральные уравнения

К.ф.-м. н., Ысмагул Р.С.

Костанайский государственный университет имени А. Байтурсынова

Метод укорочение для построения решений счётных систем интегродифференциальных уравнений

в частных производных

Введем ряд обозначений и определений:

- класс n-мерных -функций, -удовлетворяющих условиям.

и почти многопериодическим по с -вектор-почти периодом , где при ; счётно-мерный вектор , где ; W_m и V_m – операторы, которые вектору φ = ( φ₁, …, φ_т, …) ставят в соответствие векторы W_m = ( φ₁, …, φ_т, 0,…) и V_m = ( 0,…,0, φ_m+1,φ_т+2, …).

Рассмотрим систему интегро-дифференциальных уравнений вида

, (1)

где x,Q,R– n векторы-столбцы; P(t,φ) – матрица размерности n×n,

φ = ( φ₁, …, φ_т, …) – счетномерный вектор, , >0 – малые параметры.

Рассмотрим дифференциальный оператор

.

Для сокращения записи введем . Заметим, что коэффициентами усиленного условия Липшица для вектор-функции являются .

Рассмотрим линеаризованное уравнение:

. (2)

Пусть - характеристическая функция оператора , которая удовлетворяет интегральному уравнению

.

Для характеристической функции имеют место оценки, аналогичные соотношениям вида I(a-b) и 1⁰-9⁰ [1].

Рассмотрим оператор Т, отображающий каждую вектор-функцию в вектор-функцию

Пусть, где

которое известно из [1,c.170].

Будем изучать

Полагая теперь , можно записать . Из оценок III(a-d) [1] следует, что существует такое число , для которого при всех выполняются соотношения: 1) ,

2) ,

3) ,

4) .

Тем самым приходим к утверждению теоремы 1.

Теорема1. Если выполнены условия , для уравнения (1), то для всех значений , уравнение (1) имеет единственное почти многопериодическое решение из класса , сходящиеся при в нулевой вектор.

Рассмотрим укороченную по φ систему, получающуюся из (1):

, (3)

Далее показывается, что почти многопериодическое решение основной системы (1) может быть равномерно аппроксимировано почти многопериодическим решением системы по вида (3).

Теорема 2. Если уравнение (2)-некритическое и выполнены условия , для величин , тогда уравнения (1) и (3) при а при, имеют единственные почти многопериодическое решение , соответственно, причем имеет место соотношение в смысле сходимости по норме, где .

Литература:

1.Умбетжанов Д.У. Почти периодические решения эволюционных уравнений. Алма-ата, Наука, 1990, 188 с.

2.Рамазанова А.Т., Ысмагул Р.С. Об одной счётной системе некоторых дифференциальных уравнений в частных производных //Материалы межд. науч. конф. студентов, магистрантов и молодых ученых «Ломоносов-2009».- Астана, 2009.– С.51-53.