Шилинец В. А., Стельмашук Н.Т., Жук Л. Н.

Белорусский государственный педагогический университет

ОБ ИНТЕГРАЛЬНОМ ПРЕДСТАВЛЕНИИ РЕШЕНИЙ ОДНОЙ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ

Целью настоящей работы является получение интегрального представления решений одной системы дифференциальных уравнений в частных производных, обобщающей известную систему Коши-Римана.

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений в частных производных следующего вида:

где , – известные комплексные константы; , – известные функции от , непрерывные для .

В работе с помощью гиперкомплексных функций, моногенных в смысле В.С. Федорова (-моногенных), найдено общее решение системы (1). Далее эту систему будем называть системой Федорова-Павлова.

Пусть – решение системы ; , где , – комплексные функции двух действительных переменных; точка принадлежит некоторой области , заключенной в полосе , ; ; , , – комплексные константы.

Гиперкомплексная функция называется -моногенной по функции в области , если в каждой точке области выполняется условие

.

Здесь ; , – комплексные константы; – комплексные или действительные функции класса .

В дальнейших рассуждениях будем считать, что функция имеет следующий вид:

,

где

, ,

, – функции-коэффициенты системы .

В работе доказано, что любая гиперкомплексная функция , -моногенная по функции , является общим гиперкомплексным решением системы , т. е. пара функций является общим решением системы . Далее фраза «функция – гиперкомплексное решение системы » будет иметь указанный выше смысл.

Из работы следует, что если функция удовлетворяет для любого действительного числа условию

,

где , , то для любой гиперкомплексной функции , -моногенной по , имеет место аналог формулы Коши для комплексных аналитических функций:

,

где , , , , – замкнутая кривая из области , содержащая внутри себя точку ,

.

Как показано в работе , интеграл не зависит от кривой .

Получим интегральное представление решений системы Федорова-Павлова в случае, когда . Тогда система (1) примет следующий вид:

(6)

В этом случае условие будет иметь вид:

,

где – любое действительное число

Получили теорему.

Теорема. При выполнении условия для гиперкомплексного решения системы , т. е. для любой функции ,
-моногенной по функции , имеет место интегральное представление – аналог формулы Коши.

Литература:

1. Павлов С.Д. Решение систем линейных дифференциальных уравнений с частными производными с помощью моногенных функций в смысле
В.С. Фёдорова // Anal. Stiint. ale Univers. din Iasi, 1962. – Т. 8, f. 2. – P. 323 – 329.

2. Гусев В.А. Об аналоге интеграла Коши для моногенных функций // Известия АН Армянской ССР, 1965. – Т. 18, № 3. – С. 15 – 22.

3. Фёдоров В.С. Основные свойства обобщённых моногенных функций // Известия вузов. Математика, 1958. – № 6. – С. 257 – 265.