Достиярова А. М. - к.т.н., доцент КазАТК им.М.Тынышпаева

Характеристики устройства на основе метода размножения оценок

В общем виде, системная функция линейного стационарного дискретного фильтра представляет собой отношение Z–преобразования выходного сигнала к {Y_k} , {S̄_k} и импульсной характеристики {h_k} дискретного фильтра соответственно их Z-преобразования Y(z̄), S̄(z) и H(z). Так как выходной сигнал является сверткой входного сигнала с импульсной характеристикой устройства, то можно записать [1]:

H(z)= = h_k z^-k. (1)

Таким образом, чтобы определить системную функцию дискретного фильтра (1) необходимо определить его импульсную характеристику, которая является откликом системы на единичное воздействие.

В этом случае функция единичного скачка, подаваемого на вход, описывается выражением [2]:

Y_k(r)= ,k = (2)

где переменная r определяет положение единичного импульса в исходной выборке, подаваемой на вход.

В случае стационарной системы, её отклик не зависит от r [1]. Отметим, что рассматриваемый метод имеет особенности, связанные с тем, что способ оценивания на интервалах исходной выборки [0,m -1], [m, n-m] и [n-m+1,n]

различны. Таким образом, введем начальные условия, которые заключаются в определении отклика системы на интервале [m,n-m].

В этом случае функция единичного скачка (2), подаваемого на вход, перепишется в следующем виде:

Y_k(r)= ,k = k = . (3)

Используя выражение и определение исходного сигнала (3), запишем отклик системы, описываемой выражением:

где индекс (p) в h_k^(p) показывает степень аппроксимирующего полинома.

Анализ выражения показывает, что отклик системы h_k^(p) является четной функцией относительно k, тогда выражение для интервала [-m,m] перепишется следующим образом:

(4)

На рисунке 1 представлен график функции , при различных значениях параметрах p. Так как пространство аппроксимирующих функций ограничено условием p≤2, то представлены графики функции при p=0, p=1 и p=2 [49]. Зависимости, представленные на рисунке 1, получены при фиксированном значении ширины интервала разбиения m=5. Анализ результатов, представленных на рисунке 1, показывает, что полученные импульсные характеристики фильтра имеют затухающий характер.

Отклик системы на единичной воздействии при p=0 имеет треугольную форму, с ростом значения p,характеристика принимает затухающий характер и колеблется относительно нуля. Число колебаний импульсной характеристики пропорционально параметру p.

Импульсная характеристика по модулю не превосходит некоторой постоянной величины, что позволяет сделать вывод об устойчивости анализируемого фильтра [1].

Анализ результатов, представленных на рисунке 2, показывает, что АЧХ дискретного фильтра зависит от степени аппроксимирующего полинома p.

h_k^(p)

p=0

p=2

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 ω

p=1

0.6 -

0.5 -

0.4 -

0.3 -

0.2

0.1 -

-4 -2 0 2 4 k

Рисунок 1 – Импульсная характеристика дискретного фильтра, реализующего метод кусочного размножения оценок при различных степенях аппроксимирующего полинома p на каждом интервале разбиения.

Длина импульсной характеристики определяется параметром m и является четной функцией относительно k. Таким образом, дискретный фильтр представляет собой КИХ фильтр (дискретный фильтр с конечной импульсной характеристикой) с симметричной импульсной характеристикой [2]. Анализ выражения (4) показывает, что форма импульсной характеристики для каждого p определяется Q_1,m(k) и пропорциональна ее автокорреляционной функции.

В соответствии с выражением (4), системной функцией дискретного фильтра является Z- преобразование импульсной характеристики h_k^(p) [1]. Произведя Z-преобразование импульсной характеристики, получим выражение для системной функции дискретного фильтра H^(p)(z):

(5)

где индекс (p) показывает степень аппроксимирующего полинома.

Заменяя в (5) z на exp(iw), получим выражение для частотного коэффициента передачи цифрового фильтра H^(p)(iw).

Используя выражение (5), на рисунке 2 представлены результаты расчета модуля частотного коэффициента передачи |H^(p)(iw)| дискретного фильтра (амплитудно-частотные характеристики – АЧХ).

20 -

p = 0 p = 1 p = 2

0

-10

-20

-30

-20 -

|H^(p)(iω)|,дБ

-40

-50

0 0.1 0.2 0.3 0.3 0.5 ω

-10

-20

-30

Рисунок 2 – АЧХ дискретного фильтра

Так как частотная характеристика является периодической функцией частоты, с периодом, равным частоте дискретизации, то используется нормировка для проведения сравнений характеристик различных фильтров. Ось частот рисунка 2 нормирования относительно 2 ω_д и вся характеристика находится в интервале. А так как характеристика симметрична относительно ω_д/2, то на рисунке 2 и далее рассматривается интервал ω [1].

Максимальный уровень боковых лепестков составляет -24 дБ при p=0, -17дБ при p=1 и -11дБ при p=2. Максимальный уровень боковых лепестков практически линейно увеличивается с ростом p [49].

ЛИТЕРАТУРА

1. Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы: Учебник для вузов.-М.: Радио и связь, 1986.-512с.

2. Адаптивные фильтры/ Под ред. К.Ф.Н Коуэна и П.М. Гранта.-М.: Мир, 1988