Листопадова В.В.

Национальный технический университет Украины «КПИ»

ДВОЙНОЙ ТРИГОНоМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД ДЛЯ ОПИСАНИЯ ДИНАМИКИ ПЛАСТИНЫ

Какой бы функцией координат и ни был прогиб пластины, его всегда можно представить в прямоугольной области двойным рядом по нормальным функциям, то есть

, (1)

где ; – числа полуволн изгиба соответственно вдоль осей и ; – смещение точки пластины с координатами в направлении оси ; ; – число пластин.

Легко видеть, что каждый член ряда (1) удовлетворяет граничным условиям вида

(2)

Принимая во внимание соотношение (1), можно вычислить максимальную потенциальную энергию , накопленную при изгибной деформации каждой пластины. Для этого достаточно определить максимальное значение потенциальной энергии элементарного участка пластины а, затем, полученное выражение проинтегрировать по двум измерениям:

(3)

где – цилиндрическая жесткость -ой пластины; – модуль упругости пластин; – коэффициент Пуассона материала пластин.

Величину максимальной кинетической энергии поперчных колебаний пластины можно определить по формуле

, (4)

где – масса единицы площади пластины; – круговая частота.

Применив общее уравнение динамики на виртуальном перемещении

, (5)

получим дифференциальные уравнения движения пластин в главных координатах при свободных колебаниях:

, (6)

где – собственная частота изгибных колебаний, а также при вынужденных колебаниях

, (7)

где имеет тот физический смысл, что произведение определяет работу, например, падающей звуковой волны давления

, (8)

где – числа полуволн давления, приходящиеся на длину и ширину пластины; – амплитуда звукового давления соответствующей формы.

Таким образом, если на пластину падает звуковая волна , то виртуальная работа вычисляется по формуле

. (9)

Пусть для конкретности

, (10)

где – амплитуда давления; – волновое число; – скорость звука в воздухе; – угол падения волны.

Тогда

,

а

.