Математика/ 1.Дифференциальные

и интегральные уравнения

К.ф.-м.н. Казмерчук А.І.

Прикарпатський національний університет імені В.Стефаника

Повні ентропійні класи для законів збереження

Закони збереження відносяться до одних з найважливіших модельних рівнянь з частинними похідними в процесах газодинаміки, механіки суцільних середовищ, а також в економічних системах, що задовольняють умову консервативності. Особливого інтересу викликають такі моделі, в яких виникають необоротні розв’язки. Одним з підходів до вивчення розв’язності даних задач дозволяє через наближені методи [1] розв’язання отримати результати існування і єдності.

У даній роботі реалізується підхід виділення повних ентропійних класів, як визначальний в проблематиці розв’язності задач для законів збереження, а також для систем законів збереження.

Нехай . Розглянемо задачу Коші для системи квазілінійних законів збереження

, (1)

з початковою умовою

, (2)

де

.

Узагальнений розв’язок вводимо у сенсі розподілів на основі форми Кружкова

,

де

,

Функції і утворюють так звану ентропійну пару. Припустимо, що початкові умови приймаються за неперервністю в середньому.

Відомо, що задача Коші (1),(2), в загальному випадку, не має гладких розв’язків і не є оборотною. Проблема єдиності узагальненого розв’язку пов’язана з питанням дослідження умов виникнення лише допустимих розривів, і отже, виділення єдиного автомодельного розв’язку в наступній задачі Рімана

Для систем квазілінійних рівнянь гіперболічного типу задача Рімана, в загальному випадку, ще не розв’язана. Тому важливим є вивчення даного підходу в межах теорії для одного рівняння. Досліджуємо питання “мінімальності” кількості ентропійних пар, потрібних для виділення єдиного узагальненого розв’язку. У зв’язку з цим вводимо наступне означення.

Нехай

Означення Клас функцій називається мінімальним повним ентропійним класом для задачі (1),(2), якщо

1) клас функцій задовольняє умову

задача (1),(2) має єдиний узагальнений розв’язок;

2)

В межах даного підходу виділимо два випадки за потоковою функцією .

Теорема. 1) клас містить одну функцію;

2) .

Нехай .

Тоді клас - мінімальний.

З теореми випливає, що для виділення єдиного узагальненого розв’язку задачі (1), (2) для неопуклої функції потоку недостатньо скінеченної кількості ентропійних пар (навіть для виділення єдиного розв’язку відповідної задачі рімана).

Даний результат поширюється на деякі класи [2] гіперболічних систем квазілінійних рівнянь першого порядку.

Література.

1. Казмерчук А.І Різницеві апроксимації квазілінійних рівнянь першого порядку // Матеріали Міжнародної наукової конференції ім.. акад.. М. Кравчука. – К., 2002. – с.286.

2.Казмерчук А.І. Розв’язання задачі Рімана для однієї системи законів збереження // Вісник Прикарпатського університету. Серія: Математика. Фізика. Хімія. – Івано-Франківськ, 1999. – Вип.1.- С.19-21