ИЗОМОРФИЗМ КЛАССОВ БЕСОВА

НА ДВОИЧНОЙ ГРУППЕ.

Бокаев Нуржан Адилханович, Игенберлина Алуа Еркиновна.

Для классических пространств Бесова понятия нулевых классов , изоморфизмы   для разных , были установлены в работах Кальдерона, Ароншайна, Тэйблсона, Никольского. Предложенная в данной работе теорема  дает представление функций класса  через свертку ядра с функциями класса  на двоичной группе.

Классическая  система функций  Уолша   на полуинтервале   [0,1) определяется следующим образом /см. Рассмотрим так называемую систему функций Радемахера     :

                   , 

 -всевозможные сжатия функции , продолженной

периодически на всю ось, в  раз. Положим    Чтобы определить  для   , представим натуральное число  в двоичном виде

,

где  или 1, .  Тогда положим

.

Полуинтервалы вида:

                                    

будем называть двоичными интервалами го ранга. Они задают разбиение полуинтервала   :

,

при этом  . Произвольный интервал ранга  обозначим через .

Через  oбозначим ядро Дирихле по системе .

Пусть. Рассмотрим ряд Фурье-Уолша функции

~

где -коэффициенты Фурье-Уолша.

Прямоугольные частичные суммы ряда Фурье-Уолша порядка   обозначим: 

Пусть  - семейство функций на  таких, что

,   ,

 где- характеристическая функция множества  . 

Пусть . Через  обозначим множество

функций  для которых

,                                   

где * есть двоичная свертка:

.       

Такое множество назовем пространством Бесова на двоичной группе .

Пусть

                           

Назовем сверткой двух функций ряд

.

Введем следующий специальный ряд:

,

где старший показатель в двоичном разложении

…, .

Рассмотрим оператор

и  назовем его ядром.

 Определение 1.  Функция  называется регулярной в смысле , , если для некоторого .

Определение 2.  Пусть . Будем говорить, что   принадлежит нулевому классу , если  регулярна в смысле и её ряд Фурье-Уолша таков, что

.

Теорема.  Пусть . Оператор, осуществляет изоморфизм

.

Доказательство: Пусть, тогда, регулярная в смысле , функция представима в виде:

,                     (1)

где

.

Докажем, что . Согласно регулярности в смысле , функция  разлагается в ряд

.                                    (2)

Из определения оператора

.

Тогда

.

Далее

.

Следовательно

.

И обратно, пусть , для которого верно разложение (2) и

.

Для  существует разложение (1) и

.

Следовательно

  .