Педагогические
науки /2.
Проблемы подготовки специалистов
К.п.н. Мищик С.А.
Морская государственная
академия имени адмирала Ф.Ф.Ушакова , Россия
Психолого-педагогические условия
формирования базисных знаний по численным методам обработки результатов физического эксперимента в
процессе подготовки специалистов широкого профиля
Психолого-педагогические
условия подготовки специалистов широкого профиля ориентированы на формирование
базисных знаний и умений, пронизанных целостно-системным циклом формирования
личности. На этапе формирования базисных знаний по
основам численных методов обработки результатов физического эксперимента в
процессе целостно-системной подготовки специалистов выполняется органическое единство системных объектов различных
структур (физических и математических), на что указывает З.А.Решетова (1). При
этом надо установить исходное состояние субъекта, определить учебные средства,
предмет и цель (продукт) учебного взаимодействия, представить опредмеченную
потребность, спроектировать промежуточное и абсолютное состояние субъекта
обучения. Это задаёт решение проблемы организации соответствующих видов
деятельностей: всеобщей, технологической, контрольной, ритуальной, восходящей и
развития. В практике формирования знаний по численным
методам существуют различные практические подходы. Один из них реализован Завырыкиным
В.М. и др. (2). При подготовке специалистов широкого профиля особенностью
структуры целостно-системного цикла жизнедеятельности является его системность.
Каждый элемент цикла имеет системное содержание. Первоначально представляется
каждый элемент как система; определяется порождающая среда; устанавливаются
целостные свойства объекта; выделяются
уровни анализа; определяются межуровневые отношения; представляется структура
уровня; устанавливаются структурные элементы; выделяются системообразующие
связи; представляется форма организации объекта; определяются системные
свойства; устанавливается поведение объекта; выделяется его развитие. Это
реализовано в процессе выполнения шести лабораторных заданий.
1. Интерполирование функции методом
полинома Лагранжа.
По
заданной таблице значений функции:
1. составить
формулу интерполяционного полинома Лагранжа;
2. построить
график интерполирующей функции;
3. отметить
на графике узловые точки.
Существует
таблица дискретной функции:
1.
|
|
х0 |
х1 |
х2 |
|
х |
26 |
13 |
8.67 |
|
f(х) |
65 |
44.2 |
20.8 |
|
|
у0 |
у1 |
у2 |
2.Так
как х0=26, х1=13,х2=8.67, то степень полинома
не выше, чем вторая. Тогда полином Лагранжа имеет вид
L1(х)=
у0(х-х1)(х-х2)/(х0-х1)(х0-х2)
+ у1(х-х0)(х-х2)/(х1-х0)(х1-х2)
+ у2(х-х0)(х-х1)/(х2-х0)(х2-х1)
3.
Составим соответствующий полином Лагранжа:
L2(х)=
-0.21х2 + 9.96х – 49.62
4.
Построим график полинома Лагранжа.
|
х |
26 |
13 |
8.67 |
|
|
у |
65 |
44.2 |
20.8 |
|
2. Вычислить значение интерполяционного
полинома Лагранжа в промежуточном положении функции.
Существует
таблица значений функций.
|
|
х0 |
х1 |
х2 |
х3 |
|
х |
3.71 |
5.2 |
8.67 |
17.33 |
|
f(х) |
4.33 |
6.5 |
13 |
15.12 |
|
|
у0 |
у1 |
у2 |
у3 |
Найти
значение функции в точке х=6.87.
1.
Составляем вычислительную таблицу.
|
|
х0 |
х1 |
х2 |
х3 |
Pi=Пi |
yi |
yi/ Pi |
|
х0 |
х-х0 |
х0-х1 |
х0-х2 |
х0-х3 |
(х-х0)( х0-х1)( х0-х2)( х0-х3) |
у0 |
|
|
х1 |
х1-х0 |
х-х1 |
х1-х2 |
х1-х2 |
(х1-х0)( х-х1)( х1-х2)( х1-х2) |
у1 |
|
|
х2 |
х2-х0 |
х2-х1 |
х-х2 |
х2-х3 |
(х2-х0)( х2-х1)( х-х2)( х2-х3) |
у2 |
|
|
х3 |
х3-х0 |
х3-х1 |
х3-х2 |
х-х3 |
(х3-х0)( х3-х1)( х3-х2)( х-х3) |
у3 |
|
2.
Заполняем таблицу.
|
|
х0 |
х1 |
х2 |
х3 |
Pi=Пi |
yi |
yi/ Pi |
|
х0 |
3,23 |
-1,49 |
-4,96 |
-13,62 |
-325,12 |
4,33 |
-0.01 |
|
х1 |
1,49 |
1,74 |
-3,47 |
-12,13 |
109,13 |
6,5 |
0.06 |
|
х2 |
4,96 |
3,47 |
-1,73 |
-8,66 |
257,84 |
13 |
0.05 |
|
х3 |
13,62 |
12,13 |
8,66 |
-10,39 |
-14865,22 |
15,12 |
0.00 |
S=Σ(yi/ Pi)=0.1
3.
Определим результат расчета.
f(6,94)=[3.3*1.87*(-1.46)*(-9.8)]*0.11
f(6,94)=9.71
3.Интерполяционная формула Ньютона для
рассчитывания численного дифференцирования алгебраической функции.
С
помощью интерполирования формулы Ньютона определить значения производной
функции в данной точке. Существует функция. Найти значение производной в точке
х=59.
1.
Составим таблицу значений функции на интервале для пяти шагов (пятой степени
итерации), т.е. формируем таблицу.
|
х |
у=√х |
∆у |
∆2у |
∆3у |
∆4у |
∆5у |
|
59 60 61 62 63 64 |
7.681 7.746 7.810 7.874 7.937 8 |
0.065 0.064 0.064 0.063 0.063 |
-0.001 0 -0.001 0 |
0.001 -0.001 0.001 |
-0.002 0.002 |
0.004 |
2.
Существует интерполяционная формула Ньютона для численного дифференцирования
f(х)=1/h*(∆у0 -
∆2у/2 + ∆3у/3 - ∆4у/4 +
∆5у/5)
Шаг
h=1.
3.
Определим значение функции в данной точке.
f'(х)=1/1*(0.065
- (-0.001)/2 + 0.001/3 – (-0.002)/4 + 0.004)/5) = 0.0671
4.
Сопоставим полученный результат с истинным значением производной функции в
данной точке.
(√х)'=
1/2√х=0.0660
5.
Определим погрешность расчета
Ε=(|0.0671-0.0660|/0.0660)*100%≈1.6%
4.
Основы численного интегрирования.
Вычислить
I=∫sin(0,2x-3)/х2+1
интеграл по формуле трапеций, разделив отрезок [3;4] на 10 равных частей (n=10). Оценить погрешность.
I=∫sin(0,2x-3)/(х2+1), [3;4] h=(b-a)/n=0.1
Существует
формула трапеции, которая определяет значение интегральной суммы.
I=∫f(x)dx=h*(y0/2 + y1
+ y2 + y3 +…+y9 + y10/2)
Составим
таблицу значений функции.
|
х0 |
уi/2 |
уi |
|
3.0 |
-0,06338 |
|
|
3.1 |
|
-0,0039 |
|
3.2 |
|
-0,0041 |
|
3.3 |
|
-0,0219 |
|
3.4 |
|
-0,0582 |
|
3.5 |
|
-0,0562 |
|
3.6 |
|
-0,0536 |
|
3.7 |
|
-0,0525 |
|
3.8 |
|
-0,0507 |
|
3.9 |
|
-0,0523 |
|
4.0 |
-0,01516 |
|
I=((0,06338+0,0039+0,0041+0,0219+0,0582+0,0562+0,0536+0,0525+0,0507+0,0523)*(-1/10)=-4.1678
Рассчитаем
погрешность измерения. Для этого находим вторую производную подынтегральной
функции.
f(х)= sin(0,2x-3)/х2+1 f’(х)=…. f’’(х)=
….
Определим
положительное значения второй производной.
5.Метод половинного деления.
С
помощью калькулятора отделить корни заданного уравнения.
Графический
метод.
f (x)= 2x -2 cos x x>-10
1.Строим
графики заданных уравнений.
2x= 2cos x
График
функции находиться в интервалах [-0.625;-0.5].
Вычислим
на калькуляторе значения функции f(x)= 2x -2 cos x на окончаниях отрезков.
f (-0.625) =20-2*cos0= 1.692+1/1.477*0.677=
2.369
Так
как знаки функции разные, то на данном отрезке [-0.625;-0.5].имеется
единственный исходный корень.
4.
Разбиваем отрезок на два отрезка [0;0.75] и [0.75;1.5].
5. f (0)= -2.
f (0.75)= 0.036622
Так
как на началах отрезка функции имеет разные по знаку значения находиться на
дано интервале.
6.
Разбиваем отрезок [0;0.75] на два отрезка [0;0.375] и [0.375;0.75].
f (0)= -2
f (0.375)= -1.111015
Так
как знаки функции одинаковые, то на данном отрезке [0;0.375] корней не существует.
f (0.375)= -1.111015
f (0.75)= 0.036622
Так
как на концах отрезка [0.375;0.75] функция принимает разные по знаку значения,
то корень находиться на данном интервале.
7.
Разбиваем отрезок [0.375;0.75] на два отрезка [0.375;0.5625] и [0.5625;0.75].
f (0.375)= -1.111015
f (0.5625)= -0.566849
Так
как знаки функции одинаковые, то на данном отрезке [0.375;0.5625] корней не существует.
f (0.5625)= -0.566849
f (0.75)= 0.036622
Так
как на концах отрезка [0.5625;0.75] функция принимает разные по знаку значения,
то корень находиться на данном интервале.
8. Разбиваем
отрезок [0.5625;0.75] пополам на два отрезка [0.5625;0.65625] и [0.65625;0.75].
f (0.5625)= -0.566849
f (0.65625)= -0.279572
Так
как знаки функции одинаковые, то на данном отрезке [0.5625;0.65625] корней не существует.
f (0.65625)= -0.279572
f (0.75)= 0.036622
Так
как на концах отрезка [0.65625;0.75] функция принимает разные по знаку
значения, то корень находиться на данном интервале.
9.
Разбиваем отрезок [0.65625;0.75] на два отрезка [0.65625;0.673125] и
[0.673125;0.75].
f (0.65625)=
-0.279572
f (0.673125)= -0.217504
Так
как знаки функции одинаковые, то на данном отрезке [0.65625;0.673125] корней не существует.
f (0.673125)=
-0.217504 f (0.75)=
0.036622
Так
как на концах отрезка [0.673125;0.75] функция принимает разные по знаку
значения, то корень находиться на данном интервале.
10.
Разбиваем отрезок [0.673125;0.75] пополам [0.673125;0.7115625] и
[0.7115625;0.75].
f (0.673125)= -0.217504 f (0.7115625)= -0.803122
Так
как знаки функции одинаковые, то на данном отрезке [0.673125;0.7115625] корней не существует.
f (-0.5007825)=
1.754+1/1045=2.461
Так
как на концах отрезка [-0.5007825;-0.5] функция принимает разные по знаку
значения, то корень находиться на данном интервале.
6. Решение системы линейных уравнений
методом Гаусса.
Решить
систему уравнений.
0.78х1
– 0.02х2 – 0.12х3=0.56
0.02х1
– 0.86х2 + 0.04х3=-0.03
0.12х1
+ 0.44х2 – 0.72х3=1.01
|
Разделы |
х1 |
х2 |
х3 |
Свободные члены |
Σ |
S |
|
А |
0.78 0.02 0.12 |
-0.02 -0.86 0.44 |
-0.12 0.04 -0.72 |
0.56 0.77 1.01 |
1.2 -0.03 0.85 |
|
|
|
1 |
-0.0256 |
-0.1538 |
0.7179 |
1.5384 |
1.5385 |
|
|
|
-0.8594 0.4430 |
0.0430 -0.7015 |
0.7556 0.9238 |
-0.0607 0.6653 |
-0.0608 0.6653 |
|
А1 |
|
1 |
-0.05 |
-0.8792 |
0.0706 |
0.0708 |
|
|
|
|
-0.6793 |
1.3132 |
0.6340 |
0.6339 |
|
А2 |
|
|
1 |
-1.9331 |
-0.9333 |
|
|
|
|
|
1 |
-1.9331 |
-0.9333 |
|
|
В |
1 |
1 |
|
-0.9758 0.3955 |
0.0242 1.3955 |
|
1. Разделим элементы
первой строки на контрольный элемент 0.78 и запишем полученные результаты в
четвертую строку А. Для контроля вычислений мы сравниваем результат обычного
текущего преобразования с контрольной суммой строки.
2. Вычислим элементы
первой строки раздела А1 по правилу: каждый элемент первой строки
раздела А1 равен разности соответствующего элемента второй строки
раздела А и произведения его «проекций» на первый столбец и последнюю строку
раздела А.
3. Третья строка
раздела А1 образуется путем деления первой строки на ведущий элемент
-0.8594.
4. Разделом А2
заканчивается прямой ход. Получено значение неизвестного х3=-1.9331.
Значения остальных неизвестных последовательно находятся вычитанием из
свободных членов соответствующих строк прямого хода.
5. По причине
округлений результат решения системы содержит вычислительную погрешность. Это
можно проверить, подставив найденные значения неизвестных в исходную систему:
0.78*0.3955
– 0.02*(-0.9758) – 0.12*(-1.9331)=0.559978
0.02*0.3955
– 0.86*(-0.9758) + 0.04*(-1.9331)=0.769774
0.12*0.3955
+ 0.44*(-0.9758) – 0.72*(-1.9331)=1.00994
Погрешность
имеет значения:
ε1=0.000022
ε2=0.000226
ε3=0.00006
Целостно-системный
подход к учебному предмету как циклическому новообразованию устанавливает
интегральную цель формирования учебного предмета как программу развития
субъекта учебной деятельности, формирование различных форм её обобщения и
развития, а также воспитания самого субъекта.
Тогда цель развития структуры цикла учебного предмета должна отражать
последовательность целостно-системного
наполнения программы, содержания и методов достижения установленной цели. Общая структура цикла учебного предмета
должна отражать программу формирования и развития субъекта учебной деятельности
через её различные виды и формы в результате взаимодействия с предметными
условиями в виде учебных средств и соответствующих объектов. Полнота структуры
цикла учебного предмета устанавливает соответствующую форму субъекта познания. Структурные элементы цикла учебного
предмета образуют полную группу процесса познания. Устанавливаются начальные
познавательные условия для субъекта учебной деятельности; выделяются учебные
средства познавательной активности в форме основных методов организации данного
процесса; определяется собственная программа учебного содержания предмета,
соответствующая заданным учебным средствам; устанавливаются цели учебного процесса в виде
соответствующих учебно-воспитательных результатов; выделяются нормативные
требования к результатам обучения в форме закреплённого стандарта; определяются глобальные знания и умения субъекта,
составляющие остаточный образ развивающейся личности на этапе собственной
частичной целостности; устанавливаются абсолютные качества личности при
первичном цикле их формирования. Системообразующими
связями цикла учебного предмета выступают различные виды деятельности:
всеобщей, технологической, контрольной, ритуальной, восходящей и развивающей.
Все виды деятельности имеют одинаковую структуру, но собственные цели, которые
определяют направленную деятельность на достижение части этапа познавательного
цикла учебного предмета. Общая
технология проектирования учебного предмета в форме целостно-системного цикла
определяется как последовательное единство развития личности на основе
последовательного освоения структурного содержания образовательного процесса.
Единство принципов усвоения и трансформации целостно-системного цикла
учебного процесса определяет
эффективность образовательной деятельности.
Литература:
1.
З.А.Решетова.
Психологические основы профессионального обучения. – М.: издательство МГУ,
1985.- 247 с.
2.
Завырыкин
В.М., Житомирский В.Г., Лапчик М.П. Численные методы. – М.: Просвещение, 1990.
– 176